积分的几何意义
总体把握原则
- 对哪一个变量进行积分，其余变量看作常数
- d谁就是乘以谁，对一个变量的积分，就相当于求出了这个变量所在方向的线段的长度dx；再利用变量y与变量x的关系式子，y=f(x)，直接对y进行积分，就相当于计算了y乘以x的值，也就是面积。
- 假设有n个变量，对这n个变量进行积分，首先分成n-1个变量和1个变量。n-1个变量在这一个变量上的投影一定是一个点，先对这个点的范围dx积分。
- 假设有n个变量，对这n个变量进行积分，首先分成n-1个变量和1个变量。1个变量在另外n-1个变量上的投影是个面积（n==3），先对这个面积积分。
一重积分
分析：
对x积分，整体表达式y = f（x）,积分区域就是x的变化范围。
处理：
- 找到f(x)原函数
- 代入积分区间做差即可计算出面积
二重积分
分析：
对x,y积分，整体表达式z = f(x,y) ,积分区域就是x、y的变化范围。
处理：
- 对z的积分可以转换为对x、y的积分
- 将x看作常数、对y进行一重积分，积分后的结果一定是关于x的表达式。
- 再对x的表达式再进行一重积分即可得到体积。
三重积分
几何意义：
三维空间一点密度为p=F（x,y,z）,计算这个几何体的质量。
分析：
对x,y,z积分，整体表达式p = f(x,y,z) ,积分区域就是x,y,z的变化范围。
处理：
- 分成1和3-1=2分步进行积分
- 先对z的一重积分，可以得到的是线段的长度，dz消去了，转换为了二重积分继续求解二重积分
- 或者先对二重积分x,y的体积进行求解，转换为z的一重积分后，再对z一重积分求出几何体的质量。
总结
- 三重积分是在一重积分和二重积分的基础上进行的积分，二重积分是在一重积分的基础上进行的积分，一重积分是最基础的面积的积分，二重积分是曲顶柱体的体积，三重积分是三维几何体的质量。
- 积分是需要分步来进行的积分，拆开来看就好了。