树：剑指 Offer 68 - II. 二叉树的最近公共祖先

题目描述：

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：

“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉树:  root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4]

示例 1:

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出: 3
解释: 节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3。

示例 2:

输入: root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出: 5
解释: 节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

说明:

• 所有节点的值都是唯一的。
• p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉树中。

解题思路：
祖先的定义： 若节点 p 在节点 root 的左（右）子树中，或 p=root ，则称 root 是 p 的祖先。

最近公共祖先的定义： 设节点 root 为节点 p, q的某公共祖先，若其左子节点 root.left 和右子节点 root.right 都不是 p,q 的公共祖先，则称 root 是 “最近的公共祖先” 。

根据以上定义，若root 是 p,q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

　　1.p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的 异侧（即分别在左、右子树中）；
　　2.p=root ，且 q 在 root 的左或右子树中；
　　3.q=root ，且 p 在 root 的左或右子树中；

考虑通过递归对二叉树进行先序遍历，当遇到节点 p 或 q 时返回。从底至顶回溯，当节点 p,q 在节点 root 的异侧时，节点 root 即为最近公共祖先，则向上返回 root 。

递归解析：

1.终止条件：
　　1).当越过叶节点，则直接返回 null ；
　　2).当 root 等于 p,q ，则直接返回 root ；

2.递推工作：
　　1).开启递归左子节点，返回值记为 left ；
　　2).开启递归右子节点，返回值记为 right ；

3.返回值： 根据 left 和 right ，可展开为四种情况；
　　1)当 left 和 right 同时为空 ：说明 root 的左 / 右子树中都不包含 p,q ，返回 null ；
　　2)当 left 和 right 同时不为空 ：说明 p,q 分列在 root 的 异侧 （分别在 左 / 右子树），因此 root 为最近公共祖先，返回 root ；
　　3)当 left 为空 ，right 不为空 ：p,q 都不在 root 的左子树中，直接返回right 。具体可分为两种情况：
　　　　①.p,q 其中一个在 root 的 右子树 中，此时 right 指向 p（假设为 p ）；
　　　　②.p,q 两节点都在 root 的 右子树 中，此时的 right 指向 最近公共祖先节点 ；
　　4).当 left 不为空 ， right 为空 ：与情况 3. 同理；

复杂度分析：
　　时间复杂度 O(N) ： 其中 N 为二叉树节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
　　空间复杂度 O(N) ： 最差情况下，递归深度达到 N ，系统使用 O(N) 大小的额外空间。

class TreeNode{
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    public TreeNode(int x){
        val = x;
    }
    public TreeNode(int x,TreeNode left,TreeNode right){
        val = x;
        this.left = left;
        this.right = right;
    }
}
class Solution{
    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root,TreeNode p,TreeNode q){
        if(root==null||root==p||root==q) return root;
        TreeNode left = lowestCommonAncestor(root.left,p,q);
        TreeNode right = lowestCommonAncestor(root.right,p,q);
        if(left==null) return right;// 3.  1. //if(left == null && right == null) return null; 
        if(right==null) return left;// 4.
        return root;// 2.if(left != null and right != null)
    }
}