四元数法

概念

四元数是一种用于表示旋转和方向的数学对象，它由一个实部和三个虚部组成。四元数可以用来替代旋转矩阵，在计算机图形学、机器人学、物理学等领域有广泛的应用。

四元数的一般形式为：q = a + bi + cj + dk，其中a,b,c,d为实数，i,j,k为虚数单位，满足i^2=j2=k^2=ijk=-1。四元数的实部a表示旋转的余弦值，虚部bi+cj+dk表示旋转的轴向及其角度。

四元数法是一种使用四元数进行运动学计算的方法，包括旋转、位移、缩放等变换。与欧拉角相比，四元数法有更好的数值稳定性和计算效率，避免了万向锁问题。在3D游戏和动画领域，四元数法也是常用的动画插值方法之一，可以实现流畅的动画效果。

举例

假设有一个物体在三维空间中，需要将其绕着一个轴旋转一定的角度，可以使用四元数来表示这个旋转变换。首先需要构造表示旋转的四元数：

首先需要确定旋转的轴向，可以将轴向向量归一化，得到单位向量 u = [ux, uy, uz]。
根据旋转角度 theta，计算旋转的复数部分 c = cos(theta/2)，以及旋转的虚数部分 s = sin(theta/2)。
构造四元数 q = c + su = [c, sux, suy, s*uz]。
通过构造的四元数 q，可以对物体进行旋转变换，具体地，对于三维空间中的一个点 p = [px, py, pz]，可以进行如下变换：

构造点 p 的四元数 p0 = [0, px, py, pz]，即将点 p 表示成四元数的形式，实部为 0。
计算旋转后的四元数 p1 = qp0q，其中 q 表示 q 的共轭四元数，即 q 的实部不变，虚部取相反数。
将旋转后的四元数 p1 表示成点的形式，即 p' = [p1x, p1y, p1z]，其中 p1x, p1y, p1z 分别对应 p1 的三个虚数部分。
这样就完成了对点 p 的旋转变换。可以使用四元数法进行多个旋转的叠加，也可以使用四元数法进行插值，实现平滑的动画效果。