首页 > 其他分享 >闲话? 23.3.31

闲话? 23.3.31

时间:2023-03-31 14:49:09浏览次数:52  
标签:right frac 闲话 31 overline 23.3 exp 顶点 mathcal

很可能啥都没有 别点 别看

杂题?

CF1792F

给出一个 \(n\) 个顶点的无向完全图,你需要给图上的每条边染上红色或蓝色。

一个顶点的集合 \(S\) 被称作是红色连接的,如果对于 \(S\) 中每对顶点 \((v_1,v_2)\),都存在只通过红边和 \(S\) 中顶点的路径。相仿地,一个顶点的集合 \(S\) 被称作是蓝色连接的,如果对于 \(S\) 中每对顶点 \((v_1,v_2)\),都存在只通过蓝边和 \(S\) 中顶点的路径。

你需要以如下方式对图进行染色:

  • 至少有一条红边,至少有一条蓝边。
  • 对于每个大小不小于 \(2\) 的顶点集 \(S\)(也即 \(|S|\geqslant 2\)),\(S\) 或者是红色连接的,或者是蓝色连接的,但不能同时是红色和蓝色连接的。

计数染色方法,对 \(998244353\) 取模。

\(n\le 10^5\)。

foreverlasting 老师说的好啊,由于红蓝两色等价,我们对 \(n\) 要算的一定是 \(f_n\),使得 \(f_n\) 乘以二后加一些修正就是答案。我们知道不含边一定合法,所以考虑这修正就是减去全涂一种颜色的情况。所以首先猜测答案就是 \(2f_n - 2\),根据样例可知 \(f_3 = 4, f_4 = 26\)。扔到 oeis 里我们发现了 A311,你计算一下会发现这就是 \(f\)。

所以为啥?

转化一下题意。我们设蓝色边和所有点组成了图 \(G\),并钦定 \(G\) 是联通的。记 \(\overline G\) 是 \(G\) 的补图。我们知道,题设的要求就是对 \(\forall |H| \ge 2\) 是 \(G\) 的点导出子图有 \(H\) 和 \(\overline H\) 不同时联通,称这样的 \(G\) 是好的图。我们知道,对 \(|G| = n\) 的图 \(G\) 作好图能得到 \(f_n\),考虑如何计算。

我们不用考虑对应的点集在 \(\overline G\) 中不连通的 \(H\),这部分平凡。然后我们只需要考虑每个 \(\overline G\) 中的联通块,如果这些联通块对应的点集都组成了好的图,则 \(G\) 就是好的图。这是有标号组合的形式,我们记好图的有标号类为 \(\mathcal A\),可以知道

\[\mathcal A = \text{SET}_{\ge 2} (\mathcal A) + \mathcal Z \]

翻译就是

\[A(z) = \exp A(z) - A(z) - 1 + z \]

查 oeis 可以发现 A311 的 egf 是 exp A(x) = 2*A(x) - x + 1,这两个形式是相符的。

到了这一步,下面的推导就是所谓的“标准处理方法”了。

一种直接的做法是采用牛顿迭代,我们设辅助函数 \(F(x) = \exp x - 2x - 1 + z\),这样求导能得到 \(F'(x) = \exp x - 2\),直接作即可。总时间复杂度 \(O(n\log n)\)。Submission.

另一种易于发现的方式是拉格朗日反演。这形式就是 \(2A(z) + 1 - \exp A(z) = z\),我们很容易发现 \(A^{\langle -1 \rangle}(x) = 2x + 1 - \exp x\),显然这个的最低次项在 \(x^1\) 处取得。听说有人不会推这个咋算?

\[\begin{aligned} \left[x^n /n!\right] A(x) = n![x^n]A(x) = n! \frac{1}{n} [x^{n - 1}] \left(\frac{1}{A^{\langle -1 \rangle}(x)}\right)^n = \left[\frac{x^{n - 1}}{(n - 1)!}\right] \left(\frac{A^{\langle -1 \rangle}(x)}{x}\right)^{- n} \end{aligned}\]

这个推导也可以告诉我们拉反在 egf 上的应用形式。不如先拆占位元推的简单
Submission.

当然总起来看,在这题所需的信息上还是牛顿迭代法更高效,因为这做法可以一次算出前 \(n\) 项结果。
另一些拉格朗日反演易于处理的信息可以看这篇博客的第一题。

所以原题为什么要用 \(O(n\sqrt{n\log n})\) 的算法作 std 呢?

标签:right,frac,闲话,31,overline,23.3,exp,顶点,mathcal
From: https://www.cnblogs.com/joke3579/p/chitchat230331.html

相关文章

  • COMP5310 分析数据
    COMP5310ProjectStage2ASummariseandAnalysetheDataDue:11:59pmon6thofApril2023(Week7)Value:10%oftheunitThisstageisusuallydonewiththesamegroupmembersasyouworkedwithforStage1.However,ifsomeoneiscurrentlyinagroupthat......
  • 202031603210-李震 实验一软件工程准备-简单认识软件工程
    项目目标课程班级博客链接2020级卓越工程师班本次作业要求链接实验一软件工程准备我的课程学习目标1.学会使用博客园进行学习2.了解GitHub的基本操作3.学习并掌握软件工程的相关知识本次作业在哪些方面帮我实现学习目标通过本次实验,我学习了1.Git......
  • day31 打卡455.分发饼干 376. 摆动序列 53. 最大子数组和
    day31打卡455.分发饼干376.摆动序列53.最大子数组和455.分发饼干455题目链接classSolution{publicintfindContentChildren(int[]g,int[]s){intcount=0;Arrays.sort(g);Arrays.sort(s);intgIndex=0;ints......
  • 代码随想录day 31 455.分发饼干 | 376. 摆动序列 | 53. 最大子序和
    455.分发饼干假设你是一位很棒的家长,想要给你的孩子们一些小饼干。但是,每个孩子最多只能给一块饼干。对每个孩子i,都有一个胃口值 g[i],这是能让孩子们满足胃口的饼干的最小尺寸;并且每块饼干j,都有一个尺寸s[j] 。如果s[j] >=g[i],我们可以将这个饼干j分配给孩子i,这个孩......
  • 202031607130-杨国周 实验一 软件工程准备—初识软件工程
    实验一软件工程准备项目内容班级博客链接https://edu.cnblogs.com/campus/xbsf/2020CSSE本次作业要求链接https://edu.cnblogs.com/campus/xbsf/2020CSSE/homework/12938我的课程学习目标学习软件工程的基本概念、方法和工具,提高软件开发的质量和效率。本......
  • 202031607202-李锋斌 实验一 软件工程准备 对软件工程的初步认识
    实验一软件工程准备项目内容班级博客链接2023春软件工程2020级计算机科学与技术本次作业要求链接实验一软件工程准备我的课程学习目标学习软件工程的基本概念和方法,提高软件开发能力。本次作业在哪些方面帮我实现学习目标通过完成任务1-任务5,我了解了博......
  • ENGG1310 P3.1 Electricity and Protections
    这一章虽然比较硬核,但大部分都是高中物理学过的知识并且对于高中熟知的一些公式(电压/电流有效值)之类的将会给出推导(毕竟现在会积分了),所以还是很值得学习的一part原子AtomAllMATTERSaremadeofatoms.电子electron:negativelychargedatomicparticles质子pr......
  • SequoiaDB分布式数据库2023.3月刊
    本月看点速览赋能行业,参编《分布式数据库金融应用发展报告》脱颖而出,入选2022专精特新黑马大赛年度十强激烈角逐,成功晋级全国信创优秀解决方案决赛新穗新彩,多家权威媒体走进巨杉青杉计划2023持续进行,一起攀登更高的“杉”赋能行业,参编《分布式数据库金融应用发......
  • 每日总结-23.3.29-利于云服务器和javaweb简单实现一个网站
    每日总结-23.3.29-利于云服务器和javaweb简单实现一个网站 3月29日总结今日使用云服务器和tomcat实现了简单网站的搭建。使用工具(个人体验,仅作参考,使用其他版本或工具应该也行):1.移动云新人体验免费云服务器一台。(个人专享:通用型云主机)活动页面 (https://ecloud.10086.......
  • 2023.3
    SXOI2022整数序列考虑一组询问怎么做。注意到\(\sum_{i=l}^rc_i=0\)等价于\(S_r=S_{l-1}\),其中\(S\)是\(c\)的前缀和。对每种\(S\)分别考虑,发现只需要求最大子段和。由于区间的端点只会是\(x,y\)出现的位置,不难得到\(O(c_x+c_y)\)的做法,其中\(c_x\)是\(x\)的......