排队论也称随机服务系统理论，排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。排队现象作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题 形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人 等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储 问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理 论来进行计算，从而获得合理的解决办法。
一、随机服务系统实例
现实生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象，上述问题都可以抽象为排队系统进行分析。排队系统又称服务系统，由服务机构和服务对象（顾客）构成。顾客到来的时刻和服务时间（即占用服务系统的时间）都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。
智能仓库中配置多个搬运机器人，中心控制系统接收到订单后，经过分析拆解为相应的拣选任务，然后根据任务优先级，通过一定的分配算法，将任务分配给当前处于空闲状态的搬运机器人。这里，我们将订单看作顾客，搬运机器人看作服务台，不考虑系统对订单的处理及任务分配过程。那么，整个系统可以抽象为一个多服务台排队系统（M/M/C）。
二、排队系统运行指标
| M/M/1/∞/∞ | M/M/1/N/∞ | M/M/1/∞/m | M/M/C/∞/m | |
|---|---|---|---|---|
| 标准模型 | 系统容量有限模型 | 顾客源有限模型 | 多服务台模型 | |
| N=队伍容量+1 | m=系统只有m+1种状态 | 单队，并列C个服务台 | ||
| 系统空闲的概率\(P_0\) | \(P_0=1-\rho\) | \(P_0=\frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}}\) | \(P_0=\frac{1}{\sum^m \frac{m !}{(m-i) !} \rho^i}\) | \(P_0=\frac{1}{\sum^{c-1} \frac{1}{k !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^k+\frac{1}{C !} * \frac{1}{1-\rho} *\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^c}\) |
| 系统有\(n\)个顾客的概率（顾客损失率）\(P_n\) | \(P_{n=} \rho^n P_0=(1-\rho) \rho^n\) | \(P_{N=} \rho^N P_0\) | \(P_n=\frac{m !}{(m-n) !} \rho^n P_0\) | |
| 系统至少有1个顾客的概率 | \(1-P_0=\rho=\frac{\lambda}{\mu}\) | |||
| 顾客的有效到达率 | \(\lambda_e=\lambda\left(1-P_N\right)\) | \(\lambda_e=\lambda\left(m-L_s\right)\) | ||
| 系统（每小时）顾客平均数 | \(L_S=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}\) | \(L_S=\frac{\rho}{1-\rho}-\frac{(N+1) \rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}}\) | \(L_S=m-\frac{\mu}{\lambda}\left(1-P_0\right)\) | \(L_S=L_q+\frac{\lambda}{\mu}\) |
| （每小时）等待服务的平均顾客数 | \(L_q=L_{s^{-}} \rho=\frac{\rho^2}{1-\rho}\) | \(L_{q=}=L_{S^{-}}\left(1-P_0\right)\) | \(L_q=L_s-(1-P_0)\) | $ L_q=\frac{(C \rho)^C \rho}{C !(1-\rho)^2} P_0$ |
| （每位）顾客在店内的平均逗留时间 | \(W_s=\frac{L_s}{\lambda}\) | $ W_s=\frac{L_s}{\lambda_e} $ | \(W_s=\frac{L_s}{\lambda_e}\) | $ W_s=\frac{L_s}{\lambda} $ |
| （每位）顾客平均修理时间 | \(W_q=W_s-\frac{1}{\mu}\) | $W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $ | $W_q=\frac{L_q}{\lambda_e} $ | $ W_q=\frac{L_q}{\lambda} $ |
| \(\lambda\)：每小时到达店内人数 | \(\lambda\)：每小时到达店内人数 | |||
| \(\mu\)：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 | \(\mu\)：每小时可以服务的人数，1/每名客户服务时间的分钟数 | |||
| \(\rho\)：系统忙着的概率， | \(\rho=\frac{\lambda}{\mu}\) | \(\rho\)：系统忙着的概率，\(\rho=\frac{\lambda}{c \mu}\) |
三、R语言计算
总结
参考文献
单服务台排队模型R实现
怎么利用Python进行数学建模与分析？