matlab cond函数 矩阵的条件数

Cond(A)称作矩阵A的条件数，为矩阵A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积

定义　

在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：

(1) cond(A,1) 计算A的1—范数下的条件数。

(2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2—范数数下的条件数。

(3) cond(A,inf) 计算A的 ∞—范数下的条件数。

（关于范数知识请看我博客中关于norm函数的相关介绍）

举例

输入矩阵：A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19];

命令：cond(A,1) 结果：ans = 92.1325

命令：cond(A,2) 结果：ans =48.3117

命令：cond(A,inf) 结果：ans =68.6582

在matlab中，判断矩阵的奇异性一般用函数cond，求矩阵的条件数，即矩阵最大奇异值与最小奇异值的比值。当矩阵的条件数很大时，说明矩阵趋近于奇异

矩阵的条件数

条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。

比如线性方程组

的解是(x,y)=(2,1),

而

的解是(x,y)=(-3.999,4.000)

可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。

一个极端的例子，当A奇异时，条件数为无穷，这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。