Banach Indicatrix Function是可测函数及其推广

命题1：设\(f\): \([a,b] \to \mathbb{R}\)是一个连续函数, 任取\(y \in \mathbb{R}\), 定义\(N(y)\)（Banach Indicatrix Function）为使得 \(f(x) = y\) 的 \(x\) 的个数（可以为\(\infty\)），则\(N(y)\)为一个广义可测函数。

它的一个推广为如下命题

命题2：设\(F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)是一个二元连续函数，任取\(y \in \mathbb{R}\), 定义\(N(y)\)为使得\(F(x,y)=0\)的\(x\)的个数（可以为\(\infty\)）, 则\(N(y)\)为一个广义Borel可测函数。
证明：
定义\(I_Q\)为\(\mathbb{R}\)上的以有理数为端点的闭区间全体。对一个固定的正整数\(n\), 任取\(I_1, I_2,...,I_n \in I_Q\)为两两不交的闭区间, 定义\(E_{I_1,I_2,...I_n} = \{y\in \mathbb{R}|\exists x_1 \in I_1,...x_n \in I_n, st. F(x_1,y) = ... = F(x_n,y) = 0\}\)，则容易验证\(\{y:N(y) \ge n\}\) = \(\bigcup_{I_1,...I_n \in I_Q且两两不交}E_{I_1,I_2,...I_n}\).
下面证\(E_{I_1,I_2,...I_n}\)是一个闭集。
任取\(y_0\)为\(E_{I_1,I_2,...I_n}\)的一个聚点（如果有的话）, 存在一列\(\{y_m\} \subset E_{I_1,I_2,...I_n}\)趋向于\(y_0\)，由\(E_{I_1,I_2,...I_n}\)的定义可知有\(n\)列数列\(\{x^{(1)}_m\}\subset I_1,...\{x^{(n)}_m\}\subset I_n\), st. \(F(x^{(1)}_m,y_m) = ... = F(x^{(n)}_m,y_m) = 0\)，由这\(n\)个数列都是有界数列，对它们逐个取子列（第一个取完子列后，在此指标的基础上取下一个数列的子列），可以得到\(n\)个收敛子列，不妨还是用原指标，并设\(\{x^{(1)}_m\} \to x_1 \in I_1,... \{x^{(n)}_m\} \to x_n \in I_n\)，由\(F\)的连续性可知\(F(x_1,y_0) = ... = F(x_n,y_0) = 0\)，因此\(y_0 \in E_{I_1,I_2,...I_n}\). 由此可知，\(E_{I_1,I_2,...I_n}\)为闭集。
故\(\{y:N(y) \ge n\}\)是闭集的可数并，因此是\(F_\sigma\)集，当然也是Borel集，故\(N(y)\)为一个广义Borel可测函数。\(\square\)

命题1是命题2的一个特例。