对于不含幺元的有限循环半群\(<S,*>\)：设\(|S|=n\)，则该半群只有唯一的生成元\(a\)，且\(S=\{a^1,a^2,...,a^n\}\)（即\(a^1,a^2,...,a^n\)互不相同）
证明：
- 对于生成元\(a\)，\(a^1,a^2,...,a^{n}\)互不相同（反证法，设其中两个相等，那么\(a\)的幂运算会一直在这之间循环，此时\(a\)生成不了全部元素）
- 若有两个或以上的生成元，则对任意生成元\(a\)，必有\(a^{n+1}=a\)（反证法，假设有其它生成元\(b=a^{k},\;k>1\)，则\(b\)无法生成\(a\)）
- 因为有\(a^{n}*a^k=a^k*a^{n}=a^{k},\;k\in N^+\)，所以\(a^{n}\)是幺元，\(<S,*>\)是含幺半群，矛盾，即只能有唯一的生成元\(a\)
对于有限循环含幺半群\(<S,*>\)，\(|S|=n\)：
- 对于生成元\(a\)，\(a^0,a^1,a^2,...,a^{n-1}\)互不相同，且\(a^{n}\neq a\)（反证法，假设\(a^{n}\neq a\)，可以得到\(a^{n-1}=a^0\)）
- 若有两个或以上的生成元，则对任意生成元\(a\)，必有\(a^{n}=a^0\)
对于生成元\(a\)，若\(a^{n}\neq a^0\)，则\(a\)是唯一的生成元 - 若\(n>2\)，且存在生成元\(a^{n}=a^0\)，则必有两个或以上的生成元（若\(n\leq 2\)，则只有一个生成元）
若\(n>2\)，且只有一个生成元，则必有\(a^{n+1}\neq a\)（若\(n\leq 2\),不一定有\(a^{n+1}\neq a\)）