ST表学习笔记

简介

ST 表是用于解决可重复贡献问题（满足 \(x\) 操作 \(x=x\),如 \(max(x,x)=x\)）的数据结构,它在区间查询最值时可以做到 \(O(n \log n)\) 预处理,\(O(1)\)查询，是种优秀的数据结构。

ST表

思路：

ST 表基于倍增思想，我们可以先按普通的倍增想法，每次跳 \(2^i\) 步，但这样查询的复杂度是 \(O(n \log n)\) 不满足我们， \(O(1)\) 的目标。

再想，我们的 ST 表维护的是重复贡献问题，就是我们查的一个区间，拆成的两个区间有重叠但起始是一样的的是没关系的，那我们就可以实现 \(O(1)\) 查询了。

实现：

定一个 \(ST[x][y]= \max\limits_{i=x}^{x+2^y-1}a_i\)。

显然 \(ST[x][0]=a[x]\)。

根据倍增的思路，不难推出转移方程：\(ST[x][y]=max(ST[x][y-1],ST[x+2^{y-1}][y-1])\)。

这样预处理就完成了，让我们再想想查询。

对于查询，我们可以定一个 \(len= \left\lfloor\log _2(r-l+1)\right\rfloor\)。

即为在 \((l,r)\) 区间中最大的能跳的最大的连续的是 \(2^n\) 的长度中的 \(n\)。

我们查询 \((l,l+len)\) 和 \((r-len,r)\) 都可以做到 \(O(1)\) 且这两个区间加在一起，至少会重叠一个数，不会有漏。

代码：

inline void log_init(){//预处理对数
	lg[1]=0,lg[2]=1;
	for(int i=3;i<=MAXN-3;i++)
		lg[i]=lg[i>>1]+1;	
}
inline void init(int n){
	for(int i=1;i<=LOGN-1;i++)
		for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)
			ST[j][i]=max(ST[j][i-1],ST[j+(1<<(i-1))][i-1]);
}
#deifne qry(l,r) max(ST[l][lg[r-l+1]],ST[r-(1<<lg[r-l+1])+1][lg[r-l+1]]);

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