题意：平面直角坐标系上有 \(n\) 个机器人，每个机器人有一个上下左右之一的方向，初始所有机器人静止。在第 \(0\) 秒，你让第一个机器人开始朝它的方向移动，速度为每秒一个单位。如果一个移动的机器人碰到了一个静止的机器人，该静止机器人也开始朝它的方向移动。需要注意的是，一个移动的机器人无论是否碰到其他机器人，移动的方向和速度永远不会改变。求 \(T\) 秒后的状态。
由于一旦开始移动，后面的状态都是很简单的，所以只需要求出每个机器人从什么时候开始移动即可。考虑如下建图：若机器人 \(i\) 走 \(x\) 秒后会碰到机器人 \(j\)，则连一条 \(i\xrightarrow{x}j\) 的边。则每个机器人开始移动的时间即为从 \(1\) 走到该点的最短路。
此时只剩一个问题：建图是 \(n^2\) 的。我们可以发现，当一个向上的机器人 \(i\) 撞到了一个同样向上的机器人 \(j\) 时，\(i\) 和 \(j\) 便没有本质区别了，只需要保留一个。此时有两种处理方式：舍弃 \(i\) 和舍弃 \(j\)。容易证明此时建图的边数变为了 \(O(n)\) 条。
舍弃 \(i\) 的实现：
By cxm1024
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
struct node {
int x,y;
char d;
} a[100010];
map<int,set<pair<int,int> > > mx,my;
vector<pair<int,int> > e[100010];
int ans[100010];
bool done[100010];
void dijkstra(int s) {
struct node2 {
int u,w;
bool operator<(const node2 &o)const {
return w>o.w;
}
};
priority_queue<node2> q;
q.push({s,0});
while(!q.empty()) {
auto [u,w]=q.top();q.pop();
if(done[u]) continue;
done[u]=1,ans[u]=w;
for(auto v:e[u])
if(!done[v.first])
q.push({v.first,w+v.second});
}
}
signed main() {
int n,t;
cin>>n>>t;
for(int i=1;i<=n;i++) {
cin>>a[i].x>>a[i].y>>a[i].d;
mx[a[i].x].insert({a[i].y,i});
my[a[i].y].insert({a[i].x,i});
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(a[i].d=='U') {
auto &s=mx[a[i].x];
for(auto tmp=s.find({a[i].y,i});tmp!=s.end();tmp++) {
if((*tmp).second==i) continue;
e[i].push_back({(*tmp).second,(*tmp).first-a[i].y});
if(a[(*tmp).second].d=='U') break;
}
}
else if(a[i].d=='D') {
auto &s=mx[a[i].x];
for(auto tmp=s.find({a[i].y,i});;) {
if((*tmp).second!=i) {
e[i].push_back({(*tmp).second,a[i].y-(*tmp).first});
if(a[(*tmp).second].d=='D') break;
}
if(tmp==s.begin()) break;
else tmp--;
}
}
else if(a[i].d=='L') {
auto &s=my[a[i].y];
for(auto tmp=s.find({a[i].x,i});;) {
if((*tmp).second!=i) {
e[i].push_back({(*tmp).second,a[i].x-(*tmp).first});
if(a[(*tmp).second].d=='L') break;
}
if(tmp==s.begin()) break;
else tmp--;
}
}
else {
auto &s=my[a[i].y];
for(auto tmp=s.find({a[i].x,i});tmp!=s.end();tmp++) {
if((*tmp).second==i) continue;
e[i].push_back({(*tmp).second,(*tmp).first-a[i].x});
if(a[(*tmp).second].d=='R') break;
}
}
}
dijkstra(1);
for(int i=1;i<=n;i++) {
if(!done[i]||ans[i]>t) {
cout<<a[i].x<<" "<<a[i].y<<endl;
continue;
}
int len=t-ans[i];
if(a[i].d=='U') a[i].y+=len;
else if(a[i].d=='D') a[i].y-=len;
else if(a[i].d=='L') a[i].x-=len;
else a[i].x+=len;
cout<<a[i].x<<" "<<a[i].y<<endl;
}
return 0;
}
舍弃 \(j\) 的实现：
By ainta
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define pli pair<long long,int>
using namespace std;
vector<int>E[101000], L[101000];
struct point{
int x, y, num, dir;
bool operator <(const point &p)const{
return x!=p.x?x<p.x:y<p.y;
}
}w[101000], ori[101000];
int n;
long long T, D[101000];
priority_queue<pli>PQ;
void Ins(int a, long long d){
if(D[a]<=d)return;
D[a]=d;
PQ.push(pli(-d,a));
}
void Dijk(){
int i, a;
for(i=1;i<=n;i++)D[i] = 2e18;
Ins(1,0);
pli tp;
while(1){
while(!PQ.empty()){
tp = PQ.top();
if(D[tp.second] == -tp.first)break;
PQ.pop();
}
if(PQ.empty())break;
tp = PQ.top();
a = tp.second;
PQ.pop();
for(i=0;i<E[a].size();i++){
Ins(E[a][i],D[a]+L[a][i]);
}
}
}
void Add(int a, int b, int c){
E[a].push_back(b);
L[a].push_back(c);
}
int main(){
int i, j, e, pv, y;
char pp[3];
scanf("%d%lld",&n,&T);
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&w[i].x,&w[i].y);
scanf("%s",pp);
if(pp[0]=='U')w[i].dir = 1;
if(pp[0]=='D')w[i].dir = 2;
if(pp[0]=='R')w[i].dir = 3;
if(pp[0]=='L')w[i].dir = 4;
w[i].num = i;
ori[i] = w[i];
}
sort(w+1,w+n+1);
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=i;j<=n;j++)if(w[j].x!=w[i].x)break;
e=j-1;
pv = 0;
for(j=i;j<=e;j++){
if(pv)Add(pv,w[j].num,w[j].y-y);
if(w[j].dir == 1)pv = w[j].num, y = w[j].y;
}
pv = 0;
for(j=e;j>=i;j--){
if(pv)Add(pv,w[j].num,y-w[j].y);
if(w[j].dir == 2)pv = w[j].num, y = w[j].y;
}
i=e;
}
for(i=1;i<=n;i++)swap(w[i].x,w[i].y);
sort(w+1,w+n+1);
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=i;j<=n;j++)if(w[j].x!=w[i].x)break;
e=j-1;
pv = 0;
for(j=i;j<=e;j++){
if(pv)Add(pv,w[j].num,w[j].y-y);
if(w[j].dir == 3)pv = w[j].num, y = w[j].y;
}
pv = 0;
for(j=e;j>=i;j--){
if(pv)Add(pv,w[j].num,y-w[j].y);
if(w[j].dir == 4)pv = w[j].num, y = w[j].y;
}
i=e;
}
Dijk();
long long xx,yy;
for(i=1;i<=n;i++){
xx=ori[i].x,yy=ori[i].y;
if(D[i]<=T){
if(ori[i].dir==1)yy+=T-D[i];
if(ori[i].dir==2)yy-=T-D[i];
if(ori[i].dir==3)xx+=T-D[i];
if(ori[i].dir==4)xx-=T-D[i];
}
printf("%lld %lld\n",xx,yy);
}
}