1140. 石子游戏 II (Medium)

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问题描述

1140. 石子游戏 II (Medium)

爱丽丝和鲍勃继续他们的石子游戏。许多堆石子 排成一行，每堆都有正整数颗石子
piles[i]。游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。

爱丽丝和鲍勃轮流进行，爱丽丝先开始。最初， M = 1。

在每个玩家的回合中，该玩家可以拿走剩下的 前 X 堆的所有石子，其中 1 <= X <= 2M。然后，令
M = max(M, X)。

游戏一直持续到所有石子都被拿走。

假设爱丽丝和鲍勃都发挥出最佳水平，返回爱丽丝可以得到的最大数量的石头。

示例 1：

输入：piles = [2,7,9,4,4]
输出：10
解释：如果一开始Alice取了一堆，Bob取了两堆，然后Alice再取两堆。爱丽丝可以得到2 + 4 + 4 =
10堆。如果Alice一开始拿走了两堆，那么Bob可以拿走剩下的三堆。在这种情况下，Alice得到2 + 7 =
9堆。返回10，因为它更大。

示例 2:

输入：piles = [1,2,3,4,5,100]
输出：104

提示：

• 1 <= piles.length <= 100
• 1 <= piles[i] <= 10⁴

解题思路

首先这里要明确发挥最佳水平的含义：
如果自己拿了前x块石子之后，对方所能拿到的石子最少，这就是博弈中的发挥最佳水平，对应到dfs，明白了这一点就能写出递归和记忆化搜索，注意这里还需要用到后缀数组。

写出记忆化搜索之后可以改写成动态规划。

代码

记忆化搜索

class Solution {
public:
    int dfs(int idx_start, int M, vector<int> &postfix, int n, vector<vector<int>> &cach) {
        if (idx_start >= n)
            return 0;
        
        int minnum = 100001;
        if (cach[idx_start][M] >= 0) {
            return cach[idx_start][M];
        }
        for (int i = idx_start + 1; i <= idx_start +  2 * M && i <= n; i++) { // i表示下一个人拿石子的开始位置，所以i至少为idx_start+1
            int tmp = dfs(i, std::max(i - idx_start, M), postfix, n, cach);
            if (minnum > tmp) {
                minnum = tmp;
            }
        }
        cach[idx_start][M] = postfix[idx_start] - minnum;
        return cach[idx_start][M];
         
    }
    int stoneGameII(vector<int>& piles) {
        int n = piles.size();
        vector<int> postfix(n + 1, 0);
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            postfix[i] = postfix[i + 1] + piles[i];
        }
        vector<vector<int>> cach(n + 1, vector<int>(n, -1));
        return dfs(0, 1, postfix, n, cach);
    }
};

动态规划

class Solution {
  public:
    int stoneGameII(vector<int> &piles) {
        int n = piles.size();
        vector<int> postfix(n + 1, 0);
        // 后缀和数组
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            postfix[i] = postfix[i + 1] + piles[i];
        }
        // dp[i][j]表示从坐标`i`开始拿`j`个所能获得的最大石子数
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            for (int M = 1; M <= i / 2 + 1; M++) {
                if (i + 2 * M  >= n) { // 说明可以直接拿走剩余的石子
                    dp[i][M] = postfix[i];
                } else {
                    int min_num = INT_MAX;
                    for (int x = 1; x <= 2 * M; x++) {
                        // 因为从dp[i + x]递推到dp[i]，所以`i`要倒序循环
                        min_num = std::min(min_num, dp[i + x][std::max(M, x)]); 
                    }
                    dp[i][M] = postfix[i] - min_num;
                }
            }
        }
        return dp[0][1];
    }
};

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