数的宇宙观
数本是人类用来整理外部事物的方法，怎么能够充当宇宙的本源？
整个宇宙由数来构造的。他所说的就是他看到的如此，数与数之间的和谐比例的关系，不仅是人类的数学思想，而就是宇宙的构造本身。
通过讲数是宇宙的本原，来做了这样一种区分，实际上有两类事物，一类是可感的事物，还有一类是可知的事物。可感的事物，不等于可知的事物，你面对一个可感的事物，但你还对它并无所知，你只是感觉到它，因此可知的事物一定要超越感性，它是人心可以认识到的东西。
比方说数，数与数之间的合乎比例的关系，这就是可知的事物。可感的事物的根据在可知的事物中，我们通过把握到可知的事物，才能理解可感的事物。所以倘若要追问宇宙的本源，我们要抓住的是可知的事物。在毕达哥拉斯那里，要抓住的就是数。一个东西被感觉到，但并没有被认识到，但是我们对数可以有认识，数与数的比例关系可以用数学来表达，用公式来表达，这些都是可知的事。
这样，毕达哥拉斯学派就扭转了古希腊哲学思想的方向，本来是在自然界中寻找事物的本源，万物的本源，现在要在可认知的事物当中确立万物的本源，它开始走向超感性的道路。
我们确实不可能看到、闻到、摸到数字，但我们就是用数学来处理外部事物的，这一步走得非常关键。西方思想的基本特征恰恰就是萌芽于毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派既是一个哲学的学派，又是一个数学的学派。他把哲学和数学统一起来，这种统一意味着什么？
欧几里得几何学第五公理——平行线公理是这么说的：如果有两条彼此平行的直线线段，若无限延伸，将永不相交。无限延伸是在感性世界里永远做不到的事情。但是一旦说出来，我们理性上立刻认同，它不是在说某次观察和实验的基础上的知识。几何学它不是门科学，我们现在讲的科学是自然科学或社会科学，其实都是经验科学，要在实证的基础上给出理论，几何学不是这样的学问。
几何学的基本观念有点、线、面、体，点是一个纯粹的位置，它没有长度、更没有厚度，也没有面积，点的移动造成了线，线是没有面积的，更没有体积。假如一条直线移动了一下，形成了一个矩形了；假如一个正方形，它的一条边围绕着另一条边转动360度，就形成了一个圆柱体。
我们在宇宙中不能找到一条纯粹的线，也不能找到一个纯粹的面，也没有一个纯粹的圆柱体。你哪怕对一个物质材料加工再精确，它还是有误差。
数学老师在几何课堂上跟我们讲的点、线、面、体，都不是世界上真实存在的东西，而是讨论我们心中本有的观念。这本有的观念是我们的理性本来具备的。我们可以在理性上，确认一个纯粹的点——它没有长度、没有面积、也没有体积。
**几何学不是自然科学，几何学跟真实的感性的自然界没关系，几何学讨论的全是我们人心理性部分所固有的判断。 **
超感性的世界
毕达哥拉斯学派，他同时把数学的东西看成是哲学的思想内容，他等于是在告诉我们几何学是门纯粹理性的学问，什么叫纯粹？就是说里边没有任何感觉材料，这一步已经把感性和理性区分开了。可知的世界属于理性所把握的世界，可感的世界是我们的感官所感觉到的世界。最初的世界的区分就来了：两个世界的区分，当我们进入几何学思考的时候，我们就进入一个超感性的世界，它是哥可知的世界。
几何学的命题、公理、定理和推论，并不是大量感性经验的概括和总结得来的。倘若是这样的话，几何学就是经验科学了。
几何学可以讨论我们没看到过的事物，它们的位置关系，数量关系，一旦有了这样的事物，一定符合几何学或数学对它们的所有讨论，于是我们要问：一个可知的世界，一个可感世界，到底是谁在规定谁？这对我们是一个冲击。
我们中学阶段可能学过一点认识论，认识论是怎么讲的？人的认识区分了两个阶段，感性认识阶段和理性认识阶段，从感性认识上升到理性认识，这完成了一次飞跃。这给我们一个很强烈的印象——认识总是从感性经验出发的，然后慢慢上升到抽象的理论。
如果拿这一点来看几何学，事情就不是这样。感性认识要被称为认识，并不是单纯的感觉状态，感性认识其中一定包含被理性规范的感觉材料。如果没有理性的规范，那个可感的感觉材料并不能称为认识。
比方说球体这个观念来自我们观察到的大量的球状物，概括出球体来，在大量的感知、知觉的基础上，几何学获得了一个球体的观念。
如果我们这样想，那我们正好想颠倒了。但我们感官在感知不同形状的事物的时候，我们的感知里边已经包含一个认识的形式，这叫“球体”。因为我们心中先有纯粹的球的概念，我们才会把它们看成一类的。不是无数球状物让我们心中产生纯粹的球的概念，是我们心中本有纯粹的球这个观念，才把它们归为球类。
现在来讨论这样三个判断：
第一个判断是：这是一个方桌。
第二个判断：凡方的事物必有四直角。
第三个判断：方之为方在于有四直角。
我们现在讨论：这三个判断的关系，谁依赖谁？
按照我们以前学过的哲学教科书中的哲学认识论，应该说第二个判断依赖第一个判断，第三个判断依赖第二个判断。
当我们这样想的时候，正把事情想颠倒了吗，倘若我们心中没有纯粹的方的观念，也就是对方性本身的观念，我们如何可能把世界上的事物区分出一类叫方的事物？假如我们不能区分出一类方的事物，又怎么可能把这个个别的事物判断为方桌呢？
事情的真相是：第三个判断是第二个判断的依据，第二个判断是第一个判断的依据。
我们心中怎么会有对方性的领会的？这种对放性的领会又来自哪里？这种追问是正常的。我们说方性不是来自对方的事物的大量观察的概括，这是毫无疑问的。我们能观察到方的事物不同于圆的事物，是我们心中已经有方形和圆形的区分了。
方性和圆性的区分
现在的问题是：我们心中怎么会本有方性和圆性的区分？
方和圆是空间关系，空间关系怎么来到我们心中？
比如说，三维空间我们可以用笛卡尔坐标系来表达。那三维空间是眼睛能看到的吗？眼睛能看到空间吗？你看到的是空间中的事物，而你把这些事物按照上、下、左、右、前、后的位置关系来把握了。
原来空间是我们把握外部被感知到的事物之间的关系的一个我们内心的结构。
我们不可能看到空间本身，我们只能看到空间中的事物，而空间本身其实是我们整理外部事物的方式。
我们是以空间的方式感知事物。
下面又要问：我们以空间的方式感知的对象。我们感知世界事物的空间方式又来自哪里？回答是：来自我们的操作、动作，简言之——来自我们的实践。
跟事物打交道就是马克思哲学里讲的实践，实践是认识的源泉和基础。
实践其实不光是认识的内容的源泉和基础，实际上还是认识的形式的源泉和基础。
空间就是一种认识形式，空间是我们感知事物的形式，它也来自实践。在实践中，种种认识的形式便植入我们内心，而几何学只讨论“空间”这个形式本身。而它的讨论就是用理性来进行的。理性自己可以对它做出判断，而不管这个形式，在现实生活中存在与否。假如世家上根本没有三角形的事物，几何学家照样在讨论三角形。我们还知道几何学的发展后来有一次重大的进步，那就是：非欧几何的形成——非欧几里得几何，简称非欧几何。
两个人不约而同地创立了非欧几何，一个叫黎曼，一个叫罗巴切夫斯基，他们突破了欧几里得的几何学，而非欧几何所描绘的空间形式，完全超出我们三维空间的直观。
非欧几何的物理意义很快被确认了——倘若物理学是要描述宇观世界和微观世界。我们通常在宏观世界中，欧几里得几何学适用于宏观世界，一旦到了宇观世界和微观世界，就必须运用非欧几何。
在大尺度的宇宙空间的光线是弯曲的，这只能用非欧几何来描述，这件事说明什么？他们做这样的事情，根本不需要来自现实世界的经验上的证据，这是理性自己在前进，理性往前推论，推出来的东西现实世界一定会印证的——现在没印证没关系，将来也会印证。
古希腊哲学的精神就这样起步了。
古埃及曾经有非常丰富的几何知识，但是几何知识不等于几何学的成立。
中国人在这一点上跟古埃及意义，只是有几何知识，并没有几何学，几何学的成立取决于它领会到它自己的原则，这个原则就是：不借助对外部事物的观察、测量，自己能推出一整套的公理、推理和推论，它是理性在展开自己隐秘的判断。
我们应该承认这一点：只有古希腊人才真正的发展出一门几何学来，其他民族都曾经有过不同程度的几何知识。
跟不朽站在一起
我们通常会认为数学跟其他的学问一样，总是从感性经验当中汲取出来它的一般形式，但希腊人不这么想。希腊人认为数学所讨论的数量关系和空间关系都来自理性自身，并不借助外部经验世界的证实，不是从外部吸取而来，因此我们要强调这个概念：**Pure reason**，纯粹理性，凡是纯粹理性所做出的判断，里面都没有感觉材料。
有一个世界被区分出来了，这个世界叫可知世界。我们平时感觉到、惊艳到的世界叫可感世界，在可感世界中事物总是变化，生生灭灭，可知世界的事物不变，它不朽。三角形内角之和等于180度，这件事情不会发生变化。
于是几何学的研究、几何学的运算，变成一件什么事？当我们从事几何学运算的时候，我们自己就进入了一个不朽的世界里，我们摆脱了在现实世界中的生存的所有偶然性和变化。当我们从事几何思考的时候，我们就摆脱了轮回，超越了存在的偶然性，我们跟不朽站在一起了。
对古希腊的数学家几何学家来说，数学的研究没有任何实用的功利的目标，它是灵魂最高的享受，灵魂最高的享受就是——灵魂跟不朽在一起。灵魂因为它的理性地运用，它本身成了不朽的，它摆脱了对生死的区分，对死亡的恐惧，摆脱了存在的偶然性、摆脱了轮回。
所以毕达哥拉斯学派特别有重大的意义。他们用这个方式来完成自己的终极关怀，人生的终极关怀。这叫数的宇宙观。在数的世界里，就在不朽的世界里，数与数之间的和谐比例的关系是不朽的，它就是宇宙的构造本身。毕达哥拉斯学派就是这样断言了，这是哲学的断言，是对世界的理解，有了这种理解才产生科学。
科学是从哲学的母体里边分化出来的，西方近代依赖的自然科学的一个本质特征是什么？它把它所研究的自然状态要成功的放到数学公式里去，放成功了，自然状态的奥秘就算被揭示了。这个特征来自哪里？它的思想的渊源就是毕达哥拉斯的数的宇宙观。
当我们今天去看西方近代以来的自然科学的共同特征的时候，我们就会发现：那是在量化的描述自然状态，自然状态应当符合数学的理性，因为它本来就在数学的理性中。这是一条哲学上的信念。倘若没有毕达哥拉斯的数的宇宙观，怎么会有今天的量化的自然科学呢？
西方近代的科学观念就是如此，近代以来，一门学问的科学的程度取决于它运用数学的范围和深度。
毕达哥拉斯学派如此回答宇宙的本源问题，但是问题并没有解决，因为数虽然是摆脱了可感事物对他的束缚，但同时他总是用来整理可感事物，而不能来讨论完全超感觉的事物。所以真正的超感觉的世界，它的真理并不停留在数学的真理中，所以西方思想继续前进。
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