素数的性质分类

一、素数的性质

1.任何大于一的数，要么是素数，要么可以分解为几个素数之积，且分解方式唯一。
2.素数的个数有无限个。(欧几里得《几何原本》）
3.若n为大于或等于2的正整数，在n到n!之间至少有一个素数。
4.若质数为不超过n(n>=4)的最大质数，则p>n/2。
5.所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。
6.n!中质因子k的个数==[n/k] + [n/k^2] + [n/k^3] + ……
7.哥德巴赫猜想：1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给大数学家欧拉的信中提出了以下的猜想：（1）任何一个大于4的偶数，都可以表示成两个奇素数之和；（2）任何一个大于7的奇数，都可以表示成三个奇素数之和。（任一大于2的整数都可写成三个质数之和）
8.波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孪生质数。
9.梅森数(Mersenne number)又称麦森数，是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp。若其是素数，则称为梅森素数。
10.相邻素数间隔任意大。（对于∀0<a≤n，均有a∣n!+a因此对于长度为n-1的数列n!+2,n!+3……n!+n均为合数，在该数列两侧的两素数间隔至少为n，故素数间隔任意大）
11.所有大于2的素数均可唯一表示为两数的平方差。（大于2的素数都是奇数。假设这个数是2n+1。由于(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1，(n+1)^2 和 n^2 就是我们要找的两个平方数。下面证明这个方案是唯一的。如果素数p能表示成a^2 - b^2 ，p = a^2 - b^2 = (a+b) (a-b)。由于p是素数，那么只可能a+b=p且a-b=1，这给出了a和b的唯一解）
12.当n为大于2的整数时，2^n-1 和 2^n+1 中必有一个数是合数。（ 2^n 不能被3整除。如果它被3除余1，那么 2^n-1 就能被3整除；如果被3除余2，那么 2^n+1 就能被3整除。总之， 2^n+1 和 2^n-1 中至少有一个是合数）
13.对于大于等于5的素数，必与6的倍数相邻。
14.对于一个足够大的整数N，不超过N的质数大约有N/lnN个。
15.如果p是素数，a是小于p的正整数，那么a^(p-1)mod p=1。

二、素数性质的分类

有关于素数的存在性：2、3、4、6、8、10、14
有关于素数的代数性质：5、7、9、13、15
有关于素数与合数的性质：11、12
有关于数乘积的分解的性质：1
参考链接：素数的性质 素数的性质 （四）质数（素数） 素数 开方 质数_质数