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P4126 [AHOI2009]最小割

时间:2023-02-24 21:55:41浏览次数:46  
标签:流满 可行 AHOI2009 路径 最小 一条 P4126

笔者最近思考了一种对反向边的最好的理解方法,即只是将其当成一个反悔机制,在残余网络中忽略掉所有的反向边。

显然,仍然正确的捏。

考虑跑完最小割后,一条边流满是其成为可行边的必要条件(1)。

对于可行边来说,不存在一个最小割方案使得它未流满,否则,显然瓶颈不在这里,而在叉开的多条路径当中的某些边。

因此,(1)显然正确。

甚至,你可以推出来,不存在一个最小割方案使得一条边未流满与它是可行边是充要的。

接下来,考虑一条边当前流满了,我们试图构造出一个最小割方案使得它未被流满,显然假如 \(x\to y\) 仍然存在流量非零路径即可构造出来。

那么,必须边呢。首先先要保证是可行边。然后考虑条件,不存在一条路径,使得该路径上存在另外一条边同样也是流满状态。考虑每条路径都是只有它是流满的,那么它

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