1 链式前向星
1.1 简介
链式前向星可用于存储图，本质上是一个静态链表。
一般来说，存储图常见的两种方式为：
- 邻接矩阵
- 邻接表
邻接表的实现一般使用数组实现，而链式前向星就是使用链表实现的邻接表。
1.2 出处
出处可参考此处。
2 原理
链式前向星有两个核心数组：
pre数组：存储的是边的前向链接关系last数组：存储的是某个点最后一次出现的边的下标
感觉云里雾里对吧，可以看看下面的详细解释。
2.1 pre数组
pre数组存储的是一个链式的边的前向关系，下标以及取值如下：
pre数组的下标：边的下标pre数组的值：前向边的下标，如果没有前向边，取值-1
这里的前向边是指，如果某个点，作为起始点，已经出现过边x，那么，遍历到以该点作为起始点的下一条边y时，边y的前向边就是边x。
更新pre数组的时候，会遍历每一条边，更新该边对应的前向边。
比如，输入的有向边如下：
n=6 // 顶点数
[[0,1],[1,3],[3,5],[2,4],[2,3],[0,5],[0,3],[3,4]] // 边
那么：
- 对于第一条边，下标为
0，那么会更新pre[0]的值，边为0->1，而起始点点0还没有出现过前向边，那么pre[0]=-1。这样就建立了边0->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点0，它只有边0这一条边 - 对于第二条边，下标为
1，那么会更新pre[1]的值，边为1->3，而起始点点1还没有出现过前向边，那么pre[1]=-1。这样就建立了边1->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点1，它只有边1这一条边 - 对于第三条边，下标为
2，那么会更新pre[2]的值，边为3->5，而起始点点3还没有出现过前向边，那么pre[2]=-1。这样就建立了边2->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点3，它只有边2这一条边 - 对于第四条边，下标为
3，那么会更新pre[3]的值，边为2->4，而起始点点2还没有出现过前向边，那么pre[3]=-1。这样就建立了边3->-1的一个链接关系，也就是说，对于起始点点2，它只有边3这一条边 - 对于第五条边，下标为
4，那么会更新pre[4]的值，边为2->3，而起始点点2，已经出现过一条边了，该边的下标是3，也就是前向边为3，那么就会更新pre[4]为前向边的值，也就是pre[4]=3。这样，就建立了边4->3->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点2来说，目前有两条边，一条是边4，一条是边3 - 对于第六条边，下标为
5，那么会更新pre[5]的值，边为0->5，而起始点点0，已经出现过一条边了，该边的下标是边0，也就是前向边为0，那么就会更新pre[5]为前向边的值，也就是pre[5]=0。这样，就建立了边5->0->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点0来说，目前有两条边，一条是边5，一条是边0 - 对于第七条边，下标为
6，那么会更新pre[6]的值，边为0->3，而起始点点0，已经出现过不止一条边了，最后一次出现的边为边5，也就是前向边为5，那么就会更新pre[6]为前向边的值，也就是pre[6]=5。这样，就建立了边6->5->0->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点0来说，已经有三条边了，一条是边6，一条是边5，一条是边0 - 对于第八条边，下标为
7，那么会更新pre[7]的值，边为3->4，而起始点点3，已经出现过一条边了，该边的下标是边2，也就是前向边为2，那么就会更新pre[7]为前向边的值，也就是pre[7]=2。这样，就建立了边7->2->-1的一个链接关系，也就是对于起始点点3来说，目前有两条边，一条是边7，一条是边2
这样，边的链接关系就建立下来了：
点 边的链接关系(边的下标)
0 6->5->0->-1
1 1->-1
2 4->3->-1
3 7->2->-1
4 -1
5 -1
2.2 last数组
last数组存储的是最后一次出现的前向边的下标，下标以及取值如下：
last数组的下标：点last数组的值：最后一次出现的前向边的下标
last数组会将所有值初始化为-1，表示所有的点在没有遍历前都是没有前向边的。
使用上面的数据举例：
n=6 // 顶点数
[[0,1],[1,3],[3,5],[2,4],[2,3],[0,5],[0,3],[3,4]] // 边
last数组会与pre数组一起在遍历边的时候更新：
- 遍历到第一条边：下标为
0，边为0->1，那么会更新以0为起始点的前向边的值，也就是自己，last[0]=0。然后，如果下一次遍历到了以0为起始点的边，比如0->5，那么0->5的前向边就是边0，而边0就存储在last[0]中，下次需要的时候直接取last[0]即可 - 遍历到第二条边：下标为
1，边为1->3，那么会更新以1为起始点的最后一次出现的前向边的值，也就是last[1]=1 - 遍历到第三条边：下标为
2，边为3->5，那么会更新以3为起始点的最后一次出现的前向边的值，也就是last[3]=2 - 遍历到第四条边：下标为
3，边为2->4，那么会更新以2为起始点的最后一次出现的前向边的值，也就是last[2]=3 - 遍历到第五条边：下标为
4，边为2->3，那么会更新以2为起始点的最后一次出现的前向边的值，也就是last[2]=4 - 遍历到第六条边：下标为
5，边为0->5，那么会更新以0为起始点的最后一次出现的前向边的值，也就是last[0]=5 - 遍历到第七条边：下标为
6，边为0->3，那么会更新以0为起始点的最后一次出现的前向边的值，也就是last[0]=6 - 遍历到第八条边：下标为
7，边为3->4，那么会更新以3为起始点的最后一次出现的前向边的值，也就是last[3]=7
在遍历每条边的时候，会先从last数组取值并赋给pre去生成链接关系，然后更新last数组中对应起始点的值为当前的边的下标。
3 代码
3.1 生成数组
生成last以及pre数组：
public class Solution {
private int[] pre;
private int[] last;
private void buildGraph(int n, int[][] edge) {
int edgeCount = edge.length;
pre = new int[edgeCount];
last = new int[n];
Arrays.fill(last, -1);
for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
int v0 = edge[i][0];
pre[i] = last[v0];
last[v0] = i;
}
}
}
pre的范围与边数有关，而last的范围与点数有关。一开始需要初始化last数组为-1，然后遍历每一条边：
- 遍历边时仅需要知道起始点即可，因为终点可以通过边的下标获取到，不需要存储
- 遍历时首先更新
pre数组为最后一次出现的前向边的下标，也就是对应起始点的last数组的值 - 最后更新
last数组，对应起始点的值更新为当前边的下标
3.2 遍历
public class Solution {
private int[] pre;
private int[] last;
private void visit(int n, int[][] edge) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println("当前顶点:" + i);
for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {
System.out.println(edge[lastEdge][0] + "->" + edge[lastEdge][1]);
}
}
}
}
遍历从点开始，首先通过last数组取得最后一条出现的前向边的下标，然后遍历该边，最后通过pre数组更新前向边，也就是对链接关系进行遍历。
3.3 完整测试代码
import java.util.Arrays;
public class Solution {
private int[] pre;
private int[] last;
private void buildGraph(int n, int[][] edge) {
int edgeCount = edge.length;
pre = new int[edgeCount];
last = new int[n];
Arrays.fill(last, -1);
for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
int v0 = edge[i][0];
pre[i] = last[v0];
last[v0] = i;
}
}
private void visit(int n, int[][] edge) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println("当前顶点:" + i);
for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {
System.out.println(edge[lastEdge][0] + "->" + edge[lastEdge][1]);
}
}
}
public void build() {
int n = 6;
int[][] edge = {{0, 1}, {1, 3}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 3}, {0, 5}, {0, 3}, {3, 4}};
buildGraph(n, edge);
visit(n, edge);
}
}
输出：
当前顶点:0
0->3
0->5
0->1
当前顶点:1
1->3
当前顶点:2
2->3
2->4
当前顶点:3
3->4
3->5
当前顶点:4
当前顶点:5
可以看到输出的顺序与edge数组是相反的，比如edge数组中的以0为起始点的边的顺序为0->1,0->5,0->3，而输出顺序为0->3,0->5,0->1，这是因为pre的前向链接关系，生成pre数组的时候，采用的是类似链表中的“头插法”生成。
如果想要和原来的顺序保持一致，可以将edge数组反转再生成pre和last数组：
private void buildGraph(int n, int[][] edge) {
int edgeCount = edge.length;
int[][] reverseEdge = new int[edgeCount][2];
for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
reverseEdge[i] = edge[edgeCount - i - 1];
}
pre = new int[edgeCount];
last = new int[n];
Arrays.fill(last, -1);
for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
int v0 = reverseEdge[i][0];
pre[i] = last[v0];
last[v0] = i;
}
}
然后遍历edge数组的时候也需要反转：
private void visit(int n, int[][] edge) {
int edgeCount = edge.length;
int[][] reverseEdge = new int[edgeCount][2];
for (int i = 0; i < edgeCount; i++) {
reverseEdge[i] = edge[edgeCount - i - 1];
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
System.out.println("当前顶点:" + i);
for (int lastEdge = last[i]; lastEdge != -1; lastEdge = pre[lastEdge]) {
System.out.println(reverseEdge[lastEdge][0] + "->" + reverseEdge[lastEdge][1]);
}
}
}
测试代码不变：
public void build() {
int n = 6;
int[][] edge = {{0, 1}, {1, 3}, {3, 5}, {2, 4}, {2, 3}, {0, 5}, {0, 3}, {3, 4}};
buildGraph(n, edge);
visit(n, edge);
}
输出：
当前顶点:0
0->1
0->5
0->3
当前顶点:1
1->3
当前顶点:2
2->4
2->3
当前顶点:3
3->5
3->4
当前顶点:4
当前顶点:5
可以看到输出顺序和edge对应的边的顺序一致了。
4 疑问
4.1 为什么叫pre数组而不是next数组
笔者看到网上的文章很多都是如下三个数组：
head[u]数组：表示以u作为起点的第一条边的编号next[cnt]数组：表示编号为cnt的边的下一条边，这条边与cnt同一个起点to[cnt]数组：表示编号为cnt的边的终点
其中to[cnt]数组在本篇文章中没有实现，因为已经有edge数组存储了。
head[u]数组，相当于本篇文章中的last数组，而next[cnt]数组，相当于本篇文章中的pre数组。
那么为什么取不同的名字？
只是笔者认为，从自己的角度出发，这样好比较理解。如果还是觉得难理解，可以到文末的参考链接处看一下其他文章。
4.2 这个东西到底有什么用
链式前向星能做的题目，一般来说邻接表也能做。链式前向星，不是用来帮你AC题目来的，不是说某道题非得用它。它是用来帮助你在AC的基础上，进一步提高效率。链式前向星是一种优化手段，它只是帮助你优化，而不是学习了它，就能AC题目。