群论初步

引入

在数学和抽象代数中，群论（Group Theory）主要研究叫做「群」的代数结构。

定义

在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。

一个群是一个集合 \(G\) 加上对 \(G\) 的二元运算。二元运算用 \(\cdot\) 表示，它结合了任意两个元素 \(a\) 和 \(b\) 形成了一个属于 \(G\) 的元素，记为 \(a\cdot b\)。

群公理包含下述四个性质（有时略去封闭性，只有三个性质）。若集合 \(G\neq\varnothing\) 和 \(G\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((G,\cdot)\) 满足以下性质：

1. 封闭性：对于所有 \(G\) 中 \(a, b\)，运算 \(a·b\) 的结果也在 G 中。
2. 结合律（associativity）：对于 \(G\) 中所有的 \(a, b, c\)，等式 \((a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)\) 成立。
3. 单位元（identity element，也称幺元）：\(G\) 中存在一个元素 \(e\)，使得对于 \(G\) 中的每一个元素 \(a\)，都有一个 \(e \cdot a=a\cdot e=a\) 成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的单位元。
4. 逆元（inverse element）：对于每个 \(G\) 中的 \(a\)，总存在 \(G\) 中的一个元素 \(b\) 使 \(a \cdot b = b \cdot a = e\)，此处 \(e\) 为单位元，称 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)。

则称 \((G,\cdot)\) 为一个 群。例如，整数集和整数间的加法 \((\mathbb{Z},+)\) 构成一个群，单位元是 0，一个整数的逆元是它的相反数。

群的衍生结构

• 若代数结构 \((G,\cdot)\) 满足封闭性、结合律性质，则称 \((G,\cdot)\) 为一个 半群（semigroup）。
• 若半群 \((G,\cdot)\) 还满足单位元性质，则称 \((G,\cdot)\) 为一个 幺半群（monoid）。
• 若群 \((G,\cdot)\) 还满足 交换律（commutativity）：对于 \(G\) 中所有的 \(a,b\)，等式 \(a\cdot b=b\cdot a\) 成立。
  则称 \((G,\cdot)\) 为一个 阿贝尔群（Abelian group），又称 交换群（commutative group）。

环

形式上，环（ring）是一个集合 \(R\) 及对 \(R\) 的两个二元运算：加法 \(+\) 和乘法 \(\cdot\)（注意这里不是我们一般所熟知的四则运算加法和乘法）所组成的，且满足如下性质的代数结构 \((R,+,\cdot)\)：

1. \((R,+)\) 构成交换群，其单位元记为 \(0\)，\(R\) 中元素 \(a\) 的加法逆元记为 \(-a\)。
2. \((R,\cdot)\) 构成半群。
3. 分配律（distributivity）：对于 \(R\) 中所有的 \(a,b,c\)，等式 \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\) 和 \((a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c\) 成立。

Warning

在有的定义中，环必须存在乘法单位元；相对地，不存在乘法单位元的则被称为 伪环（rng 或 pseudo-ring）。遇到的时候需根据上下文加以判断。

维基百科采用的就是这种定义：¹

In the terminology of this article, a ring is defined to have a multiplicative identity, while a structure with the same axiomatic definition but without the requirement for a multiplicative identity is instead called a rng (IPA:/rʊŋ/). For example, the set of even integers with the usual + and ⋅ is a rng, but not a ring. As explained in § History below, many authors apply the term "ring" without requiring a multiplicative identity.

在抽象代数中，研究环的分支为 环论。

环的衍生结构

• 若环 \(R\) 上的乘法还满足交换律，则称 \(R\) 为 交换环（commutative ring）。
• 若环 \(R\) 存在乘法单位元 \(1\)，则称 \(R\) 为 幺环（ring with identity）。
• 若幺环 \(R\) 的所有非 \(0\) 元素 \(a\) 存在乘法逆元 \(a^{-1}\)，则称 \(R\) 为 除环（division ring）。

域

域（field）是一个比环性质更强的代数结构，具体地，域是交换除环。

域的研究方法和环大不相同。在抽象代数中，研究域的分支为 域论。