数列极限的定义
极限中ε的意义:
ε在极限讨论中代表的是一个大于0的很小的数,可以任意小,只要不等于零
由于这个任意小很模糊,同时又要求ε是一个极小的数,做题中通常会给ε上界做出定义
比如0<ε<1/2;
领(二声)域
以a为中心,以ε为半径的领域
(a,a+ε)是a的右侧ε领域;
(a+ε,a)是a的左侧ε领域;
(a+ε,a) ∪ (a,a+ε) =(a+ε,a+ε) \{a} = {x|0 <|x-a|<ε 称之为a的去心领域;
使用领域定义极限:
对于任意ε > 0,存在n0∈N(自然数),当n >n0时,有|an-a| <= ε;
对于任意ε > 0,存在n0∈N(自然数),当n >=n0时,有|an-a| < ε;
对于任意ε > 0,存在实数M > 0,当n>m时,有|an-a| < ε;
对于任意ε > 0,对固定常数M,存在n0∈N,当n>n0时,有|an-a| < M*ε;
利用定义证明数列极限问题
可以把1/(n+1)^2适当放大,如1/n^2(n作为数列下标一定大于零)时,因为如果比原式大的数都比 ε要小,那么它本身一定比 ε要小,这种方法适用于原式比较复杂的式子。
对数函数有这样的性质e^(lnx)=x
所以题目中实际上是实际上是e^(ln(q^(n-1))<e^(ln(ε)),因为都是e,且e>1,所以就把e忽略,直接比较ln(q^(n-1))<(ln(ε))的大小即可
收敛数列的性质
唯一性
有界性
无界数列必发散,
有界不一定收敛。
保号性![](/i/l/?n=23&i=blog/2919919/202302/2919919-20230218203125248-1346803682.png)
假如有数列{an}收敛于a,{bn}收敛于b,
如果存在n0∈N,当n>n0时,有an>=bn
则a>=b;
反证:
假如an>=bn,且a<b
则有几何直观
若a<b,取ε=(b-a)/2
则一定存在nε>n0,当n>n0时有|an-a|<=((b-a)/2),|bn-b|<=((b-a)/2);
所以有-((b-a)/2)<an-a<((b-a)/2),-((b-a)/2)<bn-b<((b-a)/2);
an<(b+a)/2,b>(b+a)/2;
所以an<bn与已知条件矛盾,所以b不可能大于a
若数列{an},lim(an)=a>0
则存在n0∈N,当n>n0时,有an>0
收敛数列与子数列的关系(列紧性)
任意有界数列,一定有在收敛的子列
证:设{an}有界,即an∈[c,d]
=>在[c,(c+d)/2],[(c+d)/2,d]
中至少有一个包含{an}中无穷多项
记作[c1,d1],选an1∈[c1,d1]
一直重复上述步骤;
标签:数列,bn,极限,n0,收敛,任意 From: https://www.cnblogs.com/zaiyewujiang/p/17133591.html