数列极限的定义
极限中ε的意义：
ε在极限讨论中代表的是一个大于0的很小的数，可以任意小，只要不等于零
由于这个任意小很模糊，同时又要求ε是一个极小的数，做题中通常会给ε上界做出定义
比如0<ε<1/2;
领（二声）域
以a为中心，以ε为半径的领域
（a,a+ε)是a的右侧ε领域；
（a+ε,a)是a的左侧ε领域；
（a+ε,a) ∪ （a,a+ε) =（a+ε,a+ε) \{a} = {x|0 <|x-a|<ε 称之为a的去心领域；
使用领域定义极限：
对于任意ε > 0,存在n0∈N（自然数），当n >n0时，有|an-a| <= ε;
对于任意ε > 0,存在n0∈N（自然数），当n >=n0时，有|an-a| < ε;
对于任意ε > 0,存在实数M > 0，当n>m时，有|an-a| < ε;
对于任意ε > 0,对固定常数M，存在n0∈N，当n>n0时，有|an-a| < M*ε;
利用定义证明数列极限问题
可以把1/(n+1)^2适当放大，如1/n^2(n作为数列下标一定大于零）时，因为如果比原式大的数都比 ε要小，那么它本身一定比 ε要小，这种方法适用于原式比较复杂的式子。
对数函数有这样的性质e^（lnx）=x
所以题目中实际上是实际上是e^（ln（q^(n-1))<e^(ln(ε)),因为都是e，且e>1，所以就把e忽略，直接比较ln（q^(n-1))<(ln(ε))的大小即可
收敛数列的性质
唯一性
有界性
无界数列必发散，
有界不一定收敛。
保号性
假如有数列{an}收敛于a,{bn}收敛于b，
如果存在n0∈N，当n>n0时，有an>=bn
则a>=b;
反证：
假如an>=bn,且a<b
则有几何直观
若a<b，取ε=（b-a）/2
则一定存在nε>n0,当n>n0时有|an-a|<=(（b-a）/2),|bn-b|<=(（b-a）/2);
所以有-(（b-a）/2)<an-a<(（b-a）/2),-(（b-a）/2)<bn-b<(（b-a）/2);
an<(b+a)/2,b>(b+a)/2;
所以an<bn与已知条件矛盾，所以b不可能大于a
若数列{an}，lim(an)=a>0
则存在n0∈N，当n>n0时，有an>0
收敛数列与子数列的关系（列紧性）
任意有界数列，一定有在收敛的子列
证：设{an}有界，即an∈[c,d]
=>在[c,(c+d)/2],[(c+d)/2,d]
中至少有一个包含{an}中无穷多项
记作[c1,d1]，选an1∈[c1,d1]
一直重复上述步骤；
标签：数列,bn,极限,n0,收敛,任意 From： https://www.cnblogs.com/zaiyewujiang/p/17133591.html