MathProblem 84 12 pearls and a scale problem

In front of you are 12 pearls, 11 being real and one fake. The real ones all weigh the same and the fake one differs in weight from the real ones (may weigh more or less). With a balance scale and three weighings how can you weed out the fake one and determine whether it is too heavy or too light?

Solution

有12个珍珠，11是真的，另一个是假的，但是不知道是重还是轻。现给三次称重机会将其鉴别出来。

将12分为三组：\(A:A_1,A_2,A_3,A_4; B:B_1,B_2,B_3,B_4; C:C_1,C_2,C_3,C_4\)

先比较 \(A,B\):

• 如果 \(A>B:\) 接着比较 \(A_1B_1B_2,B_3B_4C_1\)

  • 如果相等：那么说明 \(A_2A_3A_4\) 中有一个较重。那么随便选两个进行比较即可
  • 如果前者更重：说明 \(A_1\) 更重，或者 \(B_3B_4\) 更轻。那么比较 \(B_3,B_4\) 即可
  • 如果后者更重：说明 \(B_1,B_2\) 其中一个更轻。那么比较 \(B_1,B_2\) 即可

• 如果 \(A<B\)： 那么和第一个一样

• 如果 \(A=B\)：那么比较 \(A_1A_2A_3\) 和 \(C_1C_2C_3\):

  • 如果 \(A_1A_2A_3=C_1C_2C_3:\) 直接比较 \(A_1,C_4\) 即可
  • 如果前者更大或者后者更大：比较 \(C_1,C_2\) 即可