集合划分一般需要满足不重和不漏两个条件，不漏是一定要满足的，但不重不一定任何时候都要满足。
AcWing 2. 01背包问题
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
数据范围
0 < N, V ≤ 1000
0 < vi, wi ≤ 1000
集合划分
\[f(i, j) = max(f(i-1, j), f(i-1, j-vi) + wi) \]//二维形式
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 0; j <= m; j++)
{
f[i][j] = f[i - 1][j];
if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
//f(i) 只用到了 f(i-1)，并且 j 和 j-vi 都是小于等于 j 的，可以用滚动数组来优化
//一维形式（01背包问题的终极写法）
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
AcWing 3. 完全背包问题
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
数据范围
0 < N, V ≤ 1000
0 < vi, wi ≤ 1000
集合划分
\[f(i, j) = \max_{0 \leq k \leq V/vi+1} f(i-1, j-vi* k) + wi* k \]//一维形式
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1 ; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = v[i]; j <= m; j++)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
AcWing 4. 多重背包问题
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
数据范围
0 < N, V ≤ 100
0 < vi, wi, si ≤ 100
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 0; j <= m; j++)
for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++)
f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
AcWing 5. 多重背包问题 II
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
数据范围
0 < N ≤ 1000
0 < V ≤ 2000
0 < vi, wi, si ≤ 2000
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 12000;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int a, b, s;
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while(k <= s)
{
cnt++;
v[cnt] = a * k;
w[cnt] = b * k;
s -= k;
k *= 2;
}
if(s > 0)
{
cnt++;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
n = cnt;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = m; j >= v[i]; j--)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
AcWing 9. 分组背包问题
有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 组物品有 Si 个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
数据范围
0 < N, V ≤ 100
0 < Si ≤ 100
0 < vij, wij ≤ 100
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> s[i];
for(int j = 0; j < s[i]; j++)
cin >> v[i][j] >> w[i][j];
}
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = m; j >= 0; j--)
for(int k = 0; k < s[i]; k++)
if(v[i][k] <= j)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}