逆天数学试卷

整活。

七上~？？？

24 题：
对于 \(4\) 个多项式 \(A,B,C,D\)（满足 \((D 的次数) < (B 的次数)\)），如果 \(B \times C + D = A\)，则称 \(A \triangle B = D\)。

1. 证明：对于多项式 \(P\)，\((A\triangle P+B\triangle P)\triangle P=(A+B)\triangle P\)，\((A\triangle P\times B\triangle P)\triangle P=(A\times B)\triangle P\)。
2. 对于多项式 \(X\)，寻找多项式 \(Y\) 满足 \((X \times Y) \triangle (x^2 + 1) = 1\)。
3. 寻找多项式 \(X\) 满足 \((X^n) \triangle (x^2 + 1) = 1\)。
4. 设一次多项式 \(A = ax + b, B = cx + d\)，设 \((A \otimes B) = (acx + bd)\)，寻找 \((A \times B) \triangle (x^2 - 1)\) 与 \(A \otimes B\) 之间的关系。
5. 设 \((a, b) \oplus (c, d) = ((a \times c) \triangle X, (b \times d) \triangle Y)\)（其中 \(a,b,c,d\) 是多项式），对于多项式 \(P = X \times Y\)，寻找 \((a, b) \oplus (c, d)\) 与 \(\phi((a, b)) \times \phi((c, d)) \triangle P\) 之间的关系。

25 题：
对于数列 \(a, b\)，定义 \((a @ b)_n = a_0b_n + a_1 b_{n-1} + a_2 b_{n-2} + \dots + a_{n-1}b_1 + a_n b_0\)；\((a \$ b)_n = a_1 b_n + a_2 b_{n / 2} + \dots + a_{n / 2} b_2 + a_n b_1\)。（\(a \$ b\) 是 \(a_ib_{n/i}\) 对于所有能被 \(n\) 整除的 \(i\) 求和）.

1. 证明：\((a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \dots)(b_0 + b_1x + b_2x^2 + b_3x^3 \dots) = ((a@b)_0 + (a@b)_1x + (a@b)_2x^2 + (a@b)_3x^3 \dots)\)。
2. 设数列 \(\varphi_x\) 为小于 \(x\) 且与 \(x\) 互质的数的个数。设 \(I_x = 1\)。证明：\((\varphi \$ I)_n = n\)。
3. 寻找数列 \(\mu\) 满足 \((\mu \$ I)_n = \begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}\)。