系统的定义与分类

标签：线性系统 定义 可逆 分类 系统 system 记忆系统 因果

系统主要分为六类：

线性系统（linear system）—— 非线性系统（non linear system）

时不变系统（time-invariant system）—— 时变系统（time-varying system）

因果系统（causal system）—— 非因果系统（non causal system）

稳定系统（stable system）—— 不稳定系统（unstable system）

无记忆系统 —— 记忆系统

可逆系统 —— 不可逆系统

1. 线性系统

线性系统的性质：

1. 齐次性：对于任何的x(t)->y(t)都有2x(t)->2y(t)
2. 叠加性：对于任何的x1(t)->y1(t)和x2(t)->y2(t)都有x1(t)+x2(t)->y1(t)+y2(t)

线性系统的判断依据：

1. 每一项都有x
2. 每一项的x都是一次的

ex. y[n] = e^x[n] 是线性系统吗？

答：乍一看好像等式右边只有一项，但如果把等式右边用泰勒展开，可得到：

\[y[n] = 1 + x[n] + \frac{x^2[n]}{2!} + ... \]

很显然不满足判定依据，故不是线性系统。

2.时不变系统

时不变性系统的判断依据：

1. t只能在x的括号里
2. t只能是t，不能是2t，t², -t等

3.因果系统

定义：

对于一个系统，如果t₀时x(t)开始有输出，t₁时y(t)开始有输出，且t₀<t₁，则该系统为因果系统。

即不存在y(t-1)通过x(t)决定的情况

因果系统的判断依据：

x括号里的数，恒小于等于y括号里的数

ex. y(t) = x(2t)是因果系统吗？y(t) = x(t/2)是因果系统吗？

答：对于y(t) = x(2t)，当t=1时，有y(1)=x(2)，相当于系统在t=1时的输出是由系统在t=2时的输入决定的，显然该系统不是因果系统。

对于y(t) = x(t/2)，当t=-2时，有y(-2)=x(-1)，相当于系统在t=-2时的输出是由系统在t=-1时的输入决定的，显然该系统也不是因果系统。

4.无记忆系统

无记忆系统的判断依据：

y(t)仅依赖于x(t)的值，而不依赖于x(t-1),x(2t)等

对比因果系统的判断依据可以发现：无记忆系统一定是因果系统

5.可逆系统

可逆系统的判断依据：

x(t)能唯一写成y(t)的形式

例如：y(t) = x(t) 可以写成 x(t) = y(t)，因此是可逆系统。

而 y(t) = x(t)² 会写成 x(t) = ±y(t)^1/2，没有能唯一标识x(t)的y(t)，因此不是可逆系统。

ex. y[n] = Σ_k=-∞ ⁿx[k] 是可逆系统吗？

答：x[n] = y[n] - y[n-1]，是可逆系统。

6.稳定系统

定义：对于任意有界的x(t)，y(t)都有界，则该系统为有界系统。

有界指存在m对任意t有|x(t)|<m

例如 y(t) = e^x(t) 就是有界系统：y(t)一定有下界；而当x(t)有界时，y(t)有上界，即此时y(t)有界。

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