[SHOI2008]汉诺塔
题目描述
汉诺塔由三根柱子（分别用A、B、C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。
对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。
有一种非常简洁而经典的策略可以帮助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到另一根柱子：
（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；
（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移动的那个盘子。
可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。
输入格式
输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。
输出格式
只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。
样例 #1
样例输入 #1
3
AB BC CA BA CB AC
样例输出 #1
7
样例 #2
样例输入 #2
2
AB BA CA BC CB AC
样例输出 #2
5
提示
对于20%的数据，n ≤ 10。
对于100%的数据，n ≤ 30。
分析
提供一种打表新思路
先来证明一个其他题解都没有证明的结论：ans[i]是可由ans[i-1]线性递推的。
（ans[i]表示i个盘子全部移走的步数）
首先，在最初两层移动的时候，遵循的移动顺序规则是题中所给的顺序。
在n个盘子都在A柱的时候，我们是怎么做的呢？
先把前n-1个盘子按照遵循初始顺序规则的方法移动到B或C；
再对第n个盘子进行操作；
再进行某些操作（后文会展开）；
最后所有盘子移动到B或者C。
这等价于：
每一层对应一个新规则，把前n-1层盘子看做一层，那就相当于按照这个新的规则移动一个两层的东西。
这个新规则是啥意思呢？光说理论太难以理解，上图：
解释一下：n-1代表前n-1个盘子，这些盘子根据初始规则可能移动到B或者C，而把他们看做一个整体后，相当于上图的遵循初始规则的移动方式，而这种新的移动方式，就是一个新的规则。
再来两张状态转移的图：
（单箭头表示这一步操作优先级高于另一侧）
解释一下这张图。
刚开始对于前n个盘子形成的新规则：
AB>AC，BC>BA，CA>CB。
根据这个规则进行第n+1层的操作：（以A→C为例）
先把A上的前n个盘子扔到B上；（A(n)）
再把A最底下的第n+1个盘子扔到C上；（1）
再把扔到B上的前n个盘子扔到C上。（B(n)）
故总步骤数为A(n)+1+B(n)。
同理，那么这就给出了一组递推关系。
易得，如果n满足左图，则n+1满足右图；
如果n满足右图，则n+1满足左图。
也就是说，这两张图中的状态可以互相转换。
又，ABC是等价的，故这张图对应了一种可能的答案（答案1）。
这张图更复杂一些，不过实质和刚刚的相同。
以A→B为例。
先把A上的前n个盘子扔到B上；（A(n)）
再把A最底下的第n+1个盘子扔到C上；（1）
再把A上的这n个盘子扔回A上；（B(n)）
再把C上的第n+1个盘子扔到B上；（1）
再把A上的那n个盘子扔回BB上。（B(n)）
故总步骤数为A(n)+1+B(n)+1+B(n)。
同理易得，如果n满足左图，则n+1满足右图；
如果n满足右图，则n+1满足左图。
也就是说，这两张图中的状态还是可以互相转换。
而在这张图上，AB是等价的，C是另一种情况，故这张状态图对应了两种可能的答案：
AB对应的状态为初始A柱（答案2）
或
C对应的状态为初始A柱（答案3）。
好，那么现在对应这三种情况做一种简单的分析。
对于第一种答案：
ABC等价，故A(n)=B(n)=C(n)=ans_1[n]
由图中的递推公式，ans_1[n+1]=ans_1[n]*2+1
对于第二种答案：
AB等价，A(n)=B(n)=ans_2[n]
ans_2[n+1]=ans_2[n]*3+2
对于第三种答案：
AB等价，A(n)=B(n)=ans_2[n]
ans_3[n+1]=ans_2[n]+ans_3[n]+1
这是一个线性表达式。
证毕。
所以，我们只需要知道移动一个盘子、两个盘子、三个盘子的情况，即可知道递推公式进而求解。
手动模拟打表，容易得到以下结果：
（ans[i]表示i个盘子全部移走的步数）
一个盘子：
ans[1]=1
两个盘子：
(1)AB>AC
①BC>BA，ans[2]=3
②BC<BA，ans[2]=5
(2)AB<AC
这里可以看做把BC柱子换了个位置
①ans[2]=3：原BC>BA，把BC换了个位置后变成CB>CA
②ans[2]=5：原BC<BA，同理变成CB<CA
三个盘子：
(1)AB>AC
①BC>BA
(i)CB>CA，ans[3]=9
(ii)CB<CA，ans[3]=7
②BA>BC
ans[3]=17
(2)AB<AC
同理，不再赘述
提交答案
下附递推AC代码：
#include<stdio.h>
char a[4];
int seq[3][3];
long long ans[40];
int main(){
int i,n;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<6;i++){
scanf("%s",a);
seq[a[0]-'A'][a[1]-'A']=6-i;
}
if(seq[0][1]>seq[0][2]){//AB>AC
if(seq[1][2]<seq[1][0]){//BC<BA
ans[2]=5;ans[3]=17;//第二种情况
}else{
if(seq[2][0]>seq[2][1]){//CA>CB
ans[2]=3;ans[3]=7;//第一种情况
}else{
ans[2]=3;ans[3]=9;//第三种情况
}
}
}else{//AB<AC
if(seq[2][1]<seq[2][0]){//CB<CA
ans[2]=5;ans[3]=17;
}else{
if(seq[1][0]>seq[1][2]){//BA>BC
ans[2]=3;ans[3]=7;
}else{
ans[2]=3;ans[3]=9;
}
}
}
ans[1]=1;
int b=(ans[2]*ans[2]-ans[1]*ans[3])/(ans[2]-ans[1]);
int k=(ans[2]-b)/cnt1;
for(i=4;i<=n;i++)ans[i]=ans[i-1]*k+b;
printf("%lld",ans[n]);
return 0;
}
其实，这已经没有必要写成递推形式了。我们在讨论三种答案的时候，其实已经可以手算算出三种情况的O(1)表达式了。
来一发最短AC代码
#include<stdio.h>
#include<math.h>
typedef long long ll;
char a[4];
int s[9],p,n,i=6;
ll f(int x){
if(x==1)return (ll)2*pow(3,n-1)-1;
if(x)return (ll)pow(2,n)-1;
return (ll)pow(3,n-1);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
while(i--)scanf("%s",a),s[(a[0]-'A')*3+a[1]-'A']=i;
if(s[1]>s[2]){
if(s[5]<s[3])p=1;
else if(s[6]>s[7])p=2;
}else if(s[7]<s[6])p=1;
else if(s[3]>s[5])p=2;
printf("%lld",f(p));
return 0;
}