MAT350是非法语母语的国际生四月份前的预备课程之一（其实是法语课），由Tuan NGO DAC讲授，他的导师是02年的菲尔兹奖得主Laurent LAFFORGUE。个人主页：[http://tuan.ngodac.perso.math.cnrs.fr/]。
Exercice 3. Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(f\in \mathcal{L}(E)\). Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par
\[u_n=\dim \text{Im} f^n-\dim \text{Im} f^{n+1}, \]\[v_n=\dim \text{Ker} f^{n+1}-\dim \text{Ker} f^n, \]sont des suites positives, décroissantes qui tendent vers \(0\).
注：根据 Jordan 标准型的知识这是显然的，见[https://www.cnblogs.com/chaliceseven/p/16853190.html#corollary-3-jordan-canonical-form]。另外也可以套用Frobenius的秩不等式。
Tuan NGO DAC讲了一种非常优雅的证法：
Preuve. D'abord, c'est évident que \(u_n=v_n\) et donc il suffit de traiter \(u_n\).
On considère \(g_n=f:\text{Im}(f^n)\to \text{Im}(f^{n+1})\). On a
\[\text{Im} g_n = \text{Im} f^{n+1},\quad \text{Ker} g_n = \text{Ker} f\cap \text{Im} f^n. \]En notant que \(\dim \text{Ker} g_n + \underbrace{\dim \text{Im} g_n}_{=\dim \text{Im} f^{n+1}} = \dim \text{Im} f^n\), on obtient
\[u_n = \dim \text{Ker} g_n = \dim(\text{Ker} f\cap \text{Im} f^n). \]Ainsi, \(u_{n+1}\le u_n\).
Il reste à montrer que \((u_n)\) tend vers \(0\). Supposons le contraire. Alors pour chaque \(n\), il existe \(x_n\in E\) t.q.
\[x_n\notin \text{Ker} f^n,\quad x_n\in \text{Ker} f^{n+1}. \]On voit facilement que les \(x_n\) sont linéairement indépendants, cela contredit l'hypothèse que \(E\) est de dimension fini. \(\blacksquare\)
这种简洁有力的证明风格还体现在下题：
Exercice 4. Soit \(\mathbb{C}_n[X]\) l'espace vectoriel des polynômes à coefficients dans \(\mathbb{C}\) de dégre inférieur ou égal à \(n\). On considère l'application linéarie \(\varphi\) qui à \(P(X)\in \mathbb{C}_n[X]\) associe \(P(X+1)-P(X)\). Déterminer son noyau \(\text{Ker} \varphi\) et son image \(\text{Im} \varphi\).
Preuve. Remarquons que \(\dim \text{Ker} \varphi=1\) et que \(\dim \text{Im} \varphi \le n\)
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