动态规划DP

• 一般DP的组成

  一般DP主要分为两个部分：表示状态，状态转移
  这里以P1216 [USACO1.5][IOI1994]数字三角形 Number Triangles为例
  • 表示状态
    答案为从上到下的路径上的最大权值和，那么我们就可以设计\(f[i][j]\)为从最底端出发走到\((i, j)\)可以取到的最大权值和
    那么显然，\(f[1][1]\)的最大值为我们所要的答案
  • 状态转移
    那么我们很快可以确定\(f[n][i]\)的值就等于\(a[n][i]\)，这也是目前我们唯一可以迅速得出的\(f\)值
    那么我们从这个值推导其他的\(f\)值，不难发现，\((i, j)\)的\(f\)值等于下一层所有可以到达\((i, j)\)的位置中对应的最大\(f\)值与\(a[i][j]\)的和，那么不难得出状态转移方程：
  \[f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i + 1][j + 1]) + a[i][j] \]

• 背包DP

  • 01背包

    对于\(m\)个物品，都有着对应的代价\(w[i]\)和价值\(v[i]\)，我们可以消耗代价获得对应的价值，且每个物品的价值只能被获得一次，求消耗不超过\(t\)的代价所能获得的最大价值。
    那么，我们有\(dp[i][j]\)描述只考虑前\(i\)个物品且剩余总代价为\(j\)时，所获得的价值最大值
    显然，对于一个物品，我们只有两种选择，买与不买，那么我们显然要在这两种情况之间选一个最大值转移到下一个状态

    1. 对于不买此物品

       总价值等于只考虑到上一个物品的最大价值，即\(f[i - 1][j]\)

    2. 对于买此物品

       我们的剩余总代价减少了，但与此同时我们获得了此物品的价值，总价值为\(f[i - 1][j - w[i]] + v[i]\)

    那么，有状态转移方程

    \[f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]]+v[i]) \]

    不难看出，这样的状态表示是极其低效的，因为我们只需要用到\(i - 1\)的状态，所以我们可以压掉第一维，并从大到小枚举\(j\)，因为状态转移只会用上\(f[j - w[i]]\)和\(f[j]\)，而\(j - w[i]\)和\(j\)又都不大于\(j\)，所以这样可以确保当我们计算\(f[j]\)时，\(f[j - w[i]]\)和\(f[j]\)的状态仍停留在只考虑前\(i - 1\)个物品的状态，确保每一个物品都只被取一遍

for(int i=1; i <= n; ++i)
	for(int j = t; j >= w[i]; --j)
		f[j] = max(f[j], f[j-v[i]] + w[i]);