标签： 100N dfrac times 中奖 100 99N
问题提出
如果一个奖票的中奖概率是\(1\%\)，那么抽\(100\)张，一定有一个中奖。明显地，这是个假命题，如何用纯代数证明。
思路
明显，这是个概率的问题。如果再加上代数，那么很明显，就是概率的计算。可以算出\(100\)张至少中\(1\)张的概率，只要算出不是\(100\%\)那就解决了。当然，如果难算的话，可以算\(100\)张都不中的概率，再用\(1\)减去就行。
前置芝士
概率的计算公式。
解决 1
目标：计算出\(100\)张至少中\(1\)张的概率。
解：设共有\(100N\)张奖票，那么其中就有\(100N\times1\%=N\)张中奖的奖票\(N\ge1\)。下面的中奖概念为只有那一张中奖，这也同时满足了至少一张中奖的条件。
\[f(1)=P(第一张中奖)=\dfrac{N}{100N}
\]
\[f(2)=P(第二张中奖)=\dfrac{99N}{100N}\times\dfrac{N}{100N-1}
\]
\[f(3)=P(第三张中奖)=\dfrac{99N}{100N}\times\dfrac{99N-1}{100N-1}\times\dfrac{N}{100N-2}
\]
\[...
\]
\[f(x)=P(第x张中奖)=\dfrac{99N}{100N}\times\dfrac{99N-1}{100N-1}\times...\times\dfrac{99N-(x-2)}{100N-(x-2)}\times\dfrac{N}{100N-(x-1)}
\]
\[\therefore P(抽100张至少有一张中奖）=\sum\limits_{i=1}^{100}f(i)
\]
\[设\dfrac{f(x-1)}{f(x)}=\dfrac{100N-(x-1)}{99N-(x-2)}=\dfrac{A}{B}
\]
\[\therefore B=A-N+1
\]
\[A-B=N-1\ge0 \Rightarrow A\ge B
\]
\[\therefore f(x-1)\ge f(x)
\]
\[又\because f(1)=\dfrac{1}{100}
\]
\[\therefore \sum\limits_{i=1}^{100}f(i)\le100\times f(1)=100\%(当且仅当A=B即N=1时，取等号)
\]
故，命题得证
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