时间：2023年1月29日
摩擦角与全反力
四力化三力
1.木箱重为 \(mg\)，与地面间的动摩擦因数为 \(\mu\)，用斜向上的拉力 \(F\) 拉木箱使之沿水平地面匀速前进，问角 \(\alpha\) 为何值时拉力 \(F\) 最小？这个最小值为多大？
1. 沿水平方向正交分解并运用辅助角公式（大题推荐方法）
解：对木箱进行受力分析，如图
木箱受力平衡，因此
\[F\cos\alpha=\mu N\ \ \ \ \ ① \]\[N+F\sin\alpha=mg\ \ \ \ \ ② \]联立①②式，消去 \(N\)，得
\[F\cos\alpha=\mu (mg-F\sin\alpha)\iff F(\cos\alpha+\mu\sin\alpha)=\mu mg \]解得
\[F=\frac{\mu mg}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha} \]求 \(F\) 最小值，即求 \(\cos\alpha+\mu\sin\alpha\) 最大值
\[\mu\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{1+\mu^2}(\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}\sin\alpha+\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}\cos\alpha)\ \ \ \ \ ③ \]令 \(\tan\varphi=\mu\)，则
\[③=\sqrt{1+\mu^2}(\sin\varphi\sin\alpha+\cos\varphi\cos\alpha)=\sqrt{1+\mu^2}\cos(\alpha-\varphi)\ \ \ \ \ ④ \]当 \(\cos(\alpha-\varphi)=1\)，即 \(\alpha=\varphi\) 时，\(④\) 取最大值
此时 \(F\) 取最小值
\[F_{\min}=\frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}mg=mg\sin\varphi \]2. 全反力（推荐小题使用）
阻碍物体运动的支持力 \(N\)（或 \(F_N\)）与摩擦力 \(f\) 的合力称为全反力，记作 \(R\) 或 \(F_R\)。
全反力的大小为 \(R=\sqrt{f^2+N^2}\)。
当 \(f\) 为滑动摩擦力时，全反力 \(R\) 与支持力 \(N\) 的夹角达到最大值。若记夹角为 \(\varphi\)，则
\[\tan\varphi=\mu \]
解：对木箱进行受力分析，记全反力为 \(R\)
由于木箱向右滑动，若记 \(R\) 与 \(N\) 间的夹角为 \(\varphi\)，则有
\[\tan\varphi=\frac{f}{N}=\frac{\mu N}{N}=\mu \]1. 图解法（向量三角形）
木箱匀速运动，所以
\[\overrightarrow{R}+\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{mg} \]作出示意图，如图
显然，当 \(F\) 与\(R\) 垂直时，\(F\) 有最小值
此时
\[F=mg\sin\varphi \]方向与地面的夹角为 \(\varphi\)
2. 拉密定理
如图，记质点受到的三个力分别为 \(F_1\)、\(F_2\)、\(F_3\)，\(F_1\) 与 \(F_2\)、\(F_2\) 与 \(F_3\)，\(F_3\) 与 \(F_1\) 间的夹角分别为 \(\gamma\)、\(\alpha\)、\(\beta\)。若质点受力平衡，则
\[\frac{F_1}{\sin\alpha}=\frac{F_2}{\sin\beta}=\frac{F_3}{\sin\gamma} \]
可以使用正弦定理和诱导公式证明。
由拉密定理，得
\[\frac{mg}{\sin(\varphi+\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\frac{F}{\sin(\pi-\varphi)} \]整理得
\[mg\sin\varphi=F\cos(\alpha-\varphi) \]因此，当 \(\cos(\alpha-\varphi)=1 \iff \alpha=\varphi\) 时，\(F\) 取得最小值
\[F_{\min}=mg\sin\varphi \]2.一物体质量为 \(m\)，置于倾角为 \(\alpha\) 的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为 \(\mu\)，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力 \(F\) 的最小值。
注：这里用拉密定理解决
解：设全反力 \(R\) 与支持力 \(N\) 的夹角为 \(\varphi\)，拉力 \(F\) 与斜面的夹角为 \(\theta\)
则
\[\tan\varphi=\mu \]对物体 \(m\) 受力分析，如图
由拉密定理，得
\[\frac{mg}{\sin(\varphi+\frac{\pi}{2}-\theta)}=\frac{F}{\sin(\pi-\varphi-\alpha)} \]整理得
\[F\cos(\theta-\varphi)=mg\sin(\varphi+\alpha) \]当 \(\cos(\theta-\varphi)\iff\theta=\varphi\) 时，\(F\) 取得最小值
\[F_{\min}=mg\sin(\varphi+\alpha) \] 标签：mu,cos,29th,mg,varphi,Jan,静力学,alpha,sin From： https://www.cnblogs.com/PlayerSS05/p/17073930.html