矩阵分析

一、知识点

1、奇异矩阵与非奇异矩阵

• 前提：矩阵A为方阵，即m=n
• 定义：
  • 奇异矩阵：
  • 非奇异矩阵：等价于可逆矩阵。
• 奇异矩阵判别：
  • 若行列式|A|=0，则矩阵A为奇异矩阵
  • 矩阵A(方阵)半正定，且它的每个特征值大于或等于0，则A为奇异矩阵
  • 一个矩阵A(方阵)正定,且它的每个特征值都大于0，为奇异矩阵。
  • 一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构，为奇异矩阵。
• 非奇异矩阵判别方法：
  • 判断，若矩阵A(方阵)行列式|A|≠0，则矩阵A为非奇异矩阵。
  • 若矩阵A(方阵)的秩R(A)=n,即不存在非零行，称矩阵A为非奇异矩阵
  • 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵是可逆矩阵，二者等价。
  • 一个矩阵A(方阵)正定，并且每个特征值都大于零,则该矩阵A为非奇异矩阵。
  • 一个矩阵A(方阵)代表的线性变换是个自同构，则该矩阵A为非奇异矩阵。
  • 一个非奇异矩阵可表示成若干个初等矩阵之积。
  • AX=b有唯一解。
  • AX=0有且仅有零解。

2、正定矩阵(Positive Definite)

• 定义：
  • 正定矩阵：设M是n阶实对称矩阵， 如果对任一非零实向量X，都使二次型f(X)= X^TMX>0，则称f(X)为正定二次型，f(X)对应的矩阵M称为正定矩阵。
  • 半正定：
• 性质：

  • 正定矩阵的行列式恒为正：

  • 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同

  • 若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵

  • 两个正定矩阵的和也是正定矩阵

  • 正实数与正定矩阵的乘积也是正定矩阵