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P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

时间:2023-01-12 15:55:59浏览次数:78  
标签:NOIP2007 bas int ll P1005 取数 include dp 85

题目传送门

前言

今天依旧是不写高精的一天呢!(是的,这位作者又只拿了开 \(LL\) 的 \(\color{yellow}{60}\) 分)

思路描述

看到数据 \(n,m \le 80(30)\) 就知道数组可以任性开,心理有个底后,再来看题目。

状态描述

首先肯定要来一个 \(dp_{i,j}\) 来表示第 \(i\) 次时取第 \(j\) 行的数。

对于每一次放置,我们要考虑到的是之前每一次都取到什么,也就是现在的头和尾分别是哪两个数

想明白这一点,就可以描述状态了。

\(dp_{i,j,k,t}\) 表示第 \(i\) 次时取第 \(j\) 行的数,对于第 \(j\) 行,它的行首被取了 \(k\) 个数,他的行尾被取了 \(t\) 个数。

由于 $t = i - k $ ,当 \(i,k\) 确定时,\(t\) 也一定唯一,因此可以省略。

状态转移方程

描述出状态了,状态转移方程还会远吗?

显然有

\(dp_{i,j,k} = \max(dp_{i-1,j,k-1}+val(i,j,k),dp_{i-1,j,k}+val(i,j,m-(i-k)+1))\)。

\(val(x,y,z)\) 表示第 \(x\) 次时取位于第 \(y\) 行第 \(z\) 列的数所能获得的得分。

\(\max\) 中的两者分别对应了第 \(i\) 次时,在第 \(j\) 行取队首 \(or\) 队尾的情况。

code

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
ll a[85][85],dp[85][85][85];
int bas[31];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	bas[0]=1;
	for(int i=1;i<=30;i++) bas[i]=bas[i-1]*2;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
		
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			dp[i][j][i]=dp[i-1][j][i-1]+a[j][i]*bas[i],dp[i][j][0]=dp[i-1][j][0]+a[j][m-i+1]*bas[i];//这两种情况比较特殊,所以单独列。
			for(int k=1;k<i;k++){
				dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j][k-1]+a[j][k]*bas[i],dp[i-1][j][k]+a[j][m-(i-k)+1]*bas[i]);
			}
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ll max_num=0;
		for(int j=0;j<=m;j++)
			max_num=max(max_num,dp[m][i][j]);
		ans+=max_num;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0; 
}

ps:经过作者后续习惯性翻翻题解(发现原来区间DP也可以做),以及打输出时的共同启发,发现实际上我们只需要分别枚举对于每一行是的最优解,加起来就可以了。因此状态中表示行的那一维可以省略。然后就有了以下代码。

点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
ll a[85][85],dp[85][85];
int bas[31];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	bas[0]=1;
	for(int i=1;i<=30;i++) bas[i]=bas[i-1]*2;

	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);

	ll ans=0,max_num;	
	for(int j=1;j<=n;j++){
		
		for(int i=1;i<=m;i++){
			dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+a[j][i]*bas[i],dp[i][0]=dp[i-1][0]+a[j][m-i+1]*bas[i];
			for(int k=1;k<i;k++){
				dp[i][k]=max(dp[i-1][k-1]+a[j][k]*bas[i],dp[i-1][k]+a[j][m-(i-k)+1]*bas[i]);
			}
		}
		max_num=0;
		for(int i=0;i<=m;i++) max_num=max(max_num,dp[m][i]);
		ans+=max_num;
	}
	
	cout<<ans<<endl;
	return 0; 
}

事实上没太大区别,毕竟它的数据范围可以让我任性开(首尾呼应.jpg(确信))。

summary

对于省略维数有了更深刻的理解。

  • 可以用其他维度表示的可以省略。

  • 可以通过分开解决时不需要整体来定义。

\(dp\)百道第六题。(照这个进度可能得一年后在看看有没有百道的希望了QWQ)

加油。

标签:NOIP2007,bas,int,ll,P1005,取数,include,dp,85
From: https://www.cnblogs.com/lzyan-blog/p/17046913.html

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