【总结】排列组合

概念

• 排列的定义：给定个数的元素中，取出指定个数的元素，进行排序。若一共有 \(n\) 个数，取出 \(m\) 个数，其排列数记为 \(A_n^m = \frac{n!}{(n - m)!}\)。
• 组合的定义：给定个数的元素中，取出指定个数的元素，不考虑排序。若一共有 \(n\) 个数，取出 \(m\) 个数，其组合数记为 \(C_n^m = \frac{n!}{(n - m)! \cdot m!}\)。

盒子与球

1. 球相同 盒不同 无空盒

将 \(n\) 个球放进 \(m\) 个盒子，也就是说，我们要将 \(n\) 个球分成 \(m\) 组，也就是要用 \(m - 1\) 个板子，插在球与球之间的缝隙中，刚好有 \(n - 1\) 个缝隙，由于与顺序无关，所以答案就是 \(C_{n - 1} ^ {m - 1}\)。

2. 球相同 盒不同 有空盒

我们可以假象出 \(m\) 个虚拟的球，它们与那 \(n\) 个球一样，但是他们不存在，如果把它们放进盒子里，那它里面球的数量不会增加，也就实现了空盒，所以就和第一种情况一样了。答案就是 \(C_{n + m - 1} ^ {m - 1}\)。