题目
题目描述
FJ有N头奶牛 \((2 \leq N \leq1000)\) ，编号为 \(1 \ldots N\) 。奶牛们将按照编号顺序排成一列队伍（可能有多头奶牛在同一位置上）。换句话说，假设i号奶牛位于 \(P_{ \! \;i}\) ，则 \(P_{ \,1} \leq P_{ \,2} \leq \ldots \leq P_{ \! \;N}\) 。
有些奶牛是好基友，它们希望彼此之间的距离小于等于某个数。有些奶牛是情敌，它们希望彼此之间的距离大于等于某个数。
给出 \(M_L\) 对好基友的编号，以及它们希望彼此之间的距离小于等于多少；又给出 \(M_D\) 对情敌的编号，以及它们希望彼此之间的距离大于等于多少 \((1 \leq M_L,\) \(M_D \leq 10^4)\) 。
请计算：如果满足上述所有条件，1号奶牛和N号奶牛之间的距离（\(P_{ \! \;N}-P_{ \,1}\)）最大为多少。
输入描述
第一行：三个整数 \(N,M_L,M_D\) ，用空格分隔。
第 \(2 \dots M_L+1\) 行：每行三个整数A,B,D，用空格分隔，表示 \(P_B-P_A \leq D\) 。
第 \(M_L+2 \dots M_L+M_D+1\) 行：每行三个整数A,B,D，用空格分隔，表示 \(P_B-P_A \geq D\) 。
保证 \(1 \le A<B \le N,\) \(1 \leq D \leq10^6\) .
输出描述
一行，一个整数。如果没有合法方案，输出 \(\texttt{-1}\) .如果有合法方案，但1号奶牛可以与N号奶牛相距无穷远，输出 \(\texttt{-2}\) .否则，输出1号奶牛与N号奶牛间的最大距离。
示例1
输入
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3
输出
27
说明
这四头牛分别位于0,7,10,27。
备注
对于全部数据，\(2 \leq N \leq 1000,1 \leq M_L,M_D \leq 10^4,1 \leq L,D \leq 10^6\) 。
题解
知识点：差分约束。
求最大值就求最短路，求最小值就求最长路。以最大值为例，假设 \(1 \to n\) 有路径：
\[\begin{aligned} & x_2 - x_1 \leq w_1 \\ &\cdots \\ & x_n - x_{n-1} \leq w_{n-1} \end{aligned} \]得到不等式 \(x_n-x_1 \leq \sum_{i=1}^{n-1} w_i\) ，因此 \(\max(x_n-x_1) = \min(\sum w_i)\) 即，\(x_n-x_1\) 的最大值等于 \(1\to n\) 的最短路。
这道题求最大值，因此以最短路建模，利用不等式：若有边 \(u\to v\) 且边权为 \(w\) ，则满足 \(dis[u] \leq dis[v] + w\) 。
先将问题转化：
- 存在负环，即出现 \(a < b < c < a\) 为不合法
- 不存在负环，但 \(1\) 不能到达 \(n\) ，则 \(1,n\) 距离可以无穷大
- 不存在负环，\(1\) 到达 \(n\) ，则有最大值
对于负环，负环有可能和 \(1\) 不在一个连通块，导致负环没有被判断出从而有解，但实际上还是无解的，因此需要用超级源点为起点跑一次找到图中可能出现的负环。
如果没有负环，就可以从 \(1\) 跑SPFA了，后面就照常。
另外，题目隐含条件 \(x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\) ，需要额外建边 g.add(i+1,i,0) 不然会错。
注意两次SPFA初始化问题。
时间复杂度 \(O(n + km)\)
空间复杂度 \(O(n+m)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
template<class T>
struct Graph {
struct edge {
int v, nxt;
T w;
};
int idx;
vector<int> h;
vector<edge> e;
Graph(int n, int m):idx(0), h(n + 1), e(m + 1) {}
void init(int n) {
idx = 0;
h.assign(n + 1, 0);
}
void add(int u, int v, T w) {
e[++idx] = edge{ v,h[u],w };
h[u] = idx;
}
};
const int N = 1007, M = 20007;
Graph<int> g(N, M);
int n, ml, md;
bool vis[N];
int dis[N], cnt[N];
queue<int> q;
bool SPFA(int st) {
for (int i = 1;i <= n + 1;i++) dis[i] = 0x3f3f3f3f, vis[i] = 0, cnt[i] = 0;
dis[st] = 0;
q.push(st);
vis[st] = 1;
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
vis[u] = 0;
for (int i = g.h[u];i;i = g.e[i].nxt) {
int v = g.e[i].v, w = g.e[i].w;
if (dis[v] > dis[u] + w) { ///最大值跑最短路，A->B：B-A<=w（max(b-a) = min(w)），min(w)就是跑出来的结果
dis[v] = dis[u] + w;
cnt[v] = cnt[u] + 1;
if (cnt[v] >= n + 1)return false;
if (!vis[v]) {
q.push(v);
vis[v] = 1;
}
}
}
}
return true;
}
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> n >> ml >> md;
for (int i = 1;i <= ml;i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
g.add(u, v, w);
}
for (int i = 1;i <= md;i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
g.add(v, u, -w);
}
for (int i = 1;i <= n - 1;++i) g.add(i + 1, i, 0);
for (int i = 1;i <= n;i++) g.add(n + 1, i, 0);
bool ncyc = SPFA(n + 1);
if (!ncyc) cout << -1 << '\n';///任何地方出现负环，导致方案不存在
else {
SPFA(1);
if (dis[n] < 1e9)cout << dis[n] << '\n';
else cout << -2 << '\n';
}
return 0;
}