整除

一、定义

1.整除：设a是非零整数，b是整数。如果存在一个整数q，使得b=a*q，那么就说b可被a整除，记作：a|b，读作：a整除b，且称b是a的倍数，a是b的约数（因子）。

2.例子：3|12    21|63

二、性质

1.如果a|b且b|c，那么a|c。

证明：设p、q为整数  b=a*p   c=b*q

         则c=b*q=a*p*q=a*(p*q)

         因此a|c。

2.a|b且a|c等价于对任意的整数x和y,有a|(b*x+c*y)。

证明：由题意可知：

          设p、q为整数,b=a*p、c=a*q

          所以bx=a*p*x

                 cy=a*q*y

          可推出：bx+ay=a(px+qy)

          所以：a|(b*x+c*y)。

3.设m≠0,那么a|b等价于（m*a）|（m*b）

证明：设q为整数，由题可知b=a*q

4.设整数x和y满足下式：ax+by=1(a、b互质，贝祖定理那边会有证明），且a|n,b|n，那么(a*b)|n。

证明：

5.若b=q*d+c,那么d|b的充要条件是d|c。

证明：必要性：设k为整数，b=k*d，b=k*d=a*d+c

                         所以c=d(k-q)

                        因此d|c

          充分性：设m为整数，c=m*d，b=q*d+m*d=d(q+m)

                       所以d|b。

三、补充的特性（无证明，当作常识使用）

1.若2能整除a的最末值（约定0可以被任何数整除），则2|a;

2.若4能整除a的最后两位，则4|a;

3.若8能整除a的最后三位，则8|a;

4.若3能整除a的各个位上的数字之和，则3|a;

5.若9能整除a的各个位上的数字之和，则9|a;

6.若11能整除a的偶数位上的数字之和与奇数位上的数字之和的差，则11|a;

7.能被7,11,13整除的数字特征：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被7、11、13整除，这个数就能够被7、11、13整除。