更新说明：
| 时间 | 更新内容 |
|---|---|
| 2022年9月15日09点39分 | 01背包问题 |
| 2022年9月15日10点56分 | 完全背包问题 |
1. 01背包
更舒适的阅读
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
$0<N,V≤1000$
$0<vi,wi≤1000$
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8
题目关键
- 01背包只有不选与选这两种情况，所以我们只要抓住这两种情况就可以了
- 选：
f[i][j]=f[i-1][j-v[i]] - 不选：
f[i][j]=f[i-1][j]
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int f[N];
int w[N],c[N];
int main()
{
int n,v;
cin>>n>>v;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=v;j>=c[i];j--){//倒着排就可以避免不是f[i]了
/*
上面的for(int j=v;j>=c[i];j--) 已经把循环范围控制在v~c[i]中了，所以这里的
if(j>=c[i]) 就可以省去了
*/
f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
}
}cout<<f[v];
return 0;
}
优化
当然我们可以一边输入一边排，这样会简单
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
int f[MAXN];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
int v,w;
cin>>v>>w;
for(int j=m;j>=v;j--){
f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
}
}
cout<<f[m];
}
2. 完全背包问题
更舒适的阅读体验
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
$0<N,V≤1000$
$0<vi,wi≤1000$
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
解体思路（数学归纳法）
- 假设前$i-1$个物品之后的所有$f[j]$全部可选
- 来证明考虑完第$i$个物品后，所有f[j]可选
对于某个j，每个最优解包含K个v[i];
闫式dp法
状态转移：
一：f[i][j]=max(f[i-1][j-v[i]+w[i]) 二：max(f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i]) 三：max(f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i]);
还可以等价替换
四：f[i][j-v]=max(f[i-1][j-2*v[i]) 五：max(f[i-1][j-3*v[i]]+3*w[i]) 六：max(f[i-1][j-4*v[i]]+4*w[i]);
那么
二和四相等，三和六相等……
但
别想当然
他们还是不一样的
上面一列比下面多个$w[i]$！！！！
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10010;
int f[N];
int w[N],c[N];
int main()
{
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>c[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=c[i];j<=m;j++) {
f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
}
}
cout<<f[m];
return 0;
}
优化：（同01背包）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 10000;
int f[MAXN]; // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值
int main()
{
int n;
int m; // 背包体积
cin >> n >> m;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
int v, w;
cin >> v >> w;
for(int j = v; j <= m; j++) {
f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
}
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}