状态机——奇葩的状态表示
简述
在动态规划中，遇到有一个点有多个状态，混在一起无法表示，那么就可以把状态分开，并且构造出不同状态之间的转移关系，然后再求出状态转移方程，之后就OK了。
题目
1049. 大盗阿福
题目描述
阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。
这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。
阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。
作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。
他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？
输入格式
输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。
接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。
第二行是 N 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。
每家店铺中的现金数量均不超过1000。
输出格式
对于每组数据，输出一行。
该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。
数据范围
1≤T≤50,
1≤N≤105
输入样例：
2
3
1 8 2
4
10 7 6 14
输出样例：
8
24
样例解释
对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。
对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。
方法一：使用传统方法解
状态表示f[i]表示选择到这一个点，最多可以有多少money
状态转移：
- 不选择这一个点，那么
f[i] = f[i-1] - 选择这一个点，那么
f[i] = w + f[i-2]（上一个点不能选） - 初始状态：
f[1] = w1; f[2] = max(w1, w2)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100200
int a[N];
int f[N];
int main()
{
int T;
cin >> T;
while(T--)
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i<= n; i++) scanf("%d", a+i);
f[1] = a[1];
for(int i = 2 ; i <= n; i++){
f[i] = max(f[i- 1], f[i - 2] + a[i]);
}
printf("%d\n", f[n]);
}
return 0;
}
方法二：使用状态机进行表示
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100200
int a[N];
int f[N][2];
int main()
{
int T;
cin >> T;
while(T--)
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i<= n; i++) scanf("%d", a+i);
for(int i = 1 ; i <= n; i++){
f[i][0] = max(f[i-1][1], f[i-1][0]);
f[i][1] = f[i - 1][0] + a[i];
}
printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][1]));
}
return 0;
}
1057. 股票买卖 IV
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。
输入格式
第一行包含整数 N 和 k，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易笔数。
第二行包含 N 个不超过 10000 的正整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1≤N≤\(10^5\),
1≤k≤100
输入样例1：
3 2
2 4 1
输出样例1：
2
输入样例2：
6 2
3 2 6 5 0 3
输出样例2：
7
样例解释
样例1：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
样例2：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。共计利润 4+3 = 7.
题解
状态机定义
状态表示：
f[i][j][0]表示在第 i 天，进行总共进行了 k 次交易，手中无货的所有情况。
f[i][j][1]表示在第 i 天，之前总共进行了 k-1 次交易，手中有货的所有情况。
属性为max
状态转移：
对于f[i][j][0]：
f[i-1][j][0]没有买货f[i-1][j][1]+w[i]卖了货，现在手里面没有货，已经进行了j次交易
对于f[i][j][1]：
f[i-1][j][1]没有卖货f[i-1][j-1][0]-w[i]买了货，现在手里面有货，已经进行了j-1次交易，这一次是第 j 次
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100200
int f[N][105][2];
int a[N];
int n, m;
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++){
scanf("%d", a+i);
}
// 初值为0并不是合法值，必须要经过初始化
memset(f, -0x3f, sizeof f);
for(int i = 0; i <= n; i++) f[i][0][0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
for(int j = 1; j <= m; j++)
{
f[i][j][0] = max(f[i-1][j][0], f[i-1][j][1] + a[i]);
f[i][j][1] = max(f[i-1][j][1], f[i-1][j-1][0] - a[i]);
}
}
int ans = 0;
for(int i = 1; i<= m; i++) ans = max({ans, f[n][i][0], f[n][i][1]});
printf("%d", ans);
return 0;
}
1058. 股票买卖 V
给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
输入格式
第一行包含整数 N，表示数组长度。
第二行包含 N 个不超过 10000 的正整数，表示完整的数组。
输出格式
输出一个整数，表示最大利润。
数据范围
1≤N≤\(10^5\)
输入样例：
5
1 2 3 0 2
输出样例：
3
样例解释
对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]，第一笔交易可得利润 2-1 = 1，第二笔交易可得利润 2-0 = 2，共得利润 1+2 = 3。
题解
对于这一道题目，与上一道相比，没有的次数限制，所以没有必要使用第二维。
状态机设计：
- 表示状态
- 表示转移的边（对于每一个点枚举三种操作（忽略，买入，卖出）来构成边）
- 寻找入口以及出口
入口是最右面的状态。
出口是中间以及最右面的状态。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+5;
int a[N];
int f[N][3];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", a+i);
}
// memset(f, -0x3f, sizeof f); 其实没有这样的必要
f[0][1] = f[0][0] = -0x3f3f3f3f;
f[0][2] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][2] - a[i]);
f[i][1] = f[i-1][0] + a[i];
f[i][2] = max(f[i-1][1], f[i-1][2]);
}
printf("%d\n", max(f[n][1], f[n][2]));
// for(int i = 1; i <= n; i++){
// printf("%d\t%d\t%d\n", f[i][0], f[i][1], f[i][2]);
// }
return 0;
}
1052. 设计密码
你现在需要设计一个密码 S，S 需要满足：
- S 的长度是 N；
- S 只包含小写英文字母；
- S 不包含子串 T；
例如：abc 和 abcde 是 abcde 的子串，abd 不是 abcde 的子串。
请问共有多少种不同的密码满足要求？
由于答案会非常大，请输出答案模 \(10^9+7\) 的余数。
输入格式
第一行输入整数N，表示密码的长度。
第二行输入字符串T，T中只包含小写字母。
输出格式
输出一个 正整数 ，表示总方案数模 \(10^9+7\) 后的结果。
数据范围
1≤N≤50,
1≤|T|≤N，|T|是T的长度。
输入样例1：
2
a
输出样例1：
625
输入样例2：
4
cbc
输出样例2：
456924
我万万想不到竟然会在这里邂逅美妙的KMP
当遇到子串问题的时候，想想KMP的前缀函数。
对于每一个新出现的字符，那么模式串中的哪一个指针就会跳一下。
如果模式串中的指针跳到了模式串的最末尾，那么意思就是已经发生了匹配。
在这道题目中，对于字符的每一个位置，都有26中选择，对于每一个选择，模式串的指针都会跳一下。
到最后，每一条状态转移的路径就对应着填写数字的一种方法（跳到末尾的忽略）
仅仅需要计数，求解方案数就可以了。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 55
int n, m;
char a[N];
int nxt[N];
long long f[N][N];
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
scanf("%d%s", &n, a+1);
m = strlen(a+1);
for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++)
{
while(j && a[j+1] != a[i]) j = nxt[j];
if(a[j+1] == a[i]) j++;
nxt[i] = j;
}
f[0][0] = 1;
// BUG 注意是从当前的状态往后推，而不是求从哪里转移过来
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < m; j++)
{
for(char k = 'a'; k <= 'z'; k++)
{
int p = j;
while(p && a[p+1] != k) p = nxt[p];
if(a[p+1] == k) p++;
if(p < m) f[i+1][p] = (f[i+1][p] + f[i][j]) % mod;
}
}
}
long long ans = 0;
for(int i = 0; i < m; i++)
{
ans = (ans + f[n][i]) % mod;
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}