题目背景
栈是计算机中经典的数据结构,简单的说,栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。
栈有两种最重要的操作,即 pop(从栈顶弹出一个元素)和 push(将一个元素进栈)。
栈的重要性不言自明,任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时,想到了一个书上没有讲过的问题,而他自己无法给出答案,所以需要你的帮忙。
题目描述
宁宁考虑的是这样一个问题:一个操作数序列,(图示为 1 到 3 的情况),栈 A 的深度大于
。
现在可以进行两种操作,
- 将一个数,从操作数序列的头端移到栈的头端(对应数据结构栈的 push 操作)
- 将一个数,从栈的头端移到输出序列的尾端(对应数据结构栈的 pop 操作)
使用这两种操作,由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列,下图所示为由 1 2 3
生成序列 2 3 1
的过程。
(原始状态如上图所示)
你的程序将对给定的 ,计算并输出由操作数序列
经过操作可能得到的输出序列的总数。
输入格式
输入文件只含一个整数 (
)。
输出格式
输出文件只有一行,即可能输出序列的总数目。
输入输出样例
输入 #1复制
3
输出 #1复制
5
说明/提示
【题目来源】
NOIP 2003 普及组第三题
思路分析:
题目要我们求从管倒出来的顺序有多少个,即出栈顺序有多少个,假设三个球123加入栈中,出栈方式可以是123(放进去一个球接着拿出来)、321(三个球全放进去再挨个拿出来)、231(当进去两个球再拿出一个再放第三个再依次拿出来)...。但是由于栈是先进后出的,有些序列比如312就不存在,因为要想先拿出3,1必定在2的后面拿出。
我们假设对于n个元素我们有a[n]个出栈方式,假如第k个元素是最后拿出的,则比k早拿出的元素有k - 1个,比k晚拿出的元素有n - k个,则一共有a[k - 1] * a[n - k]种出栈方式,因为对于早拿出的k - 1个数,其中又存在一个k1是最后那个拿出的,则就有k1 - 1个更早拿出的数,k - 1 - k1个更晚拿出的数,以此类推。我们可以得到,当k取不同的值时,产生的出栈顺序是相互独立的,各自不会产生影响或出栈顺序重复,因为k是不同的。
所以我们将所有k的取值产生的出栈结果加起来,就是我们要求的所有出栈顺序。递推关系式可以写为:a[n] = a[0] * a[n - 1] + a[1] * a[n - 2] + ... + a[n - 1] * a[0]。(表示k取0~n-1时,各自产生的出栈顺序之和)。
另外,对于递推式,要想让其不断执行下去,必须要有一个或多个初始值。本题的初始值是a[0] = 1,因为k==1,表示第1个数最后出栈,比他早出栈的数没有,比他后出栈的有n - 1个数,出栈方式为a[n - 1],总共出栈方式是a[0] * a[n - 1],所以a[0] = 1,而不是a[0] = 0,如果a[0] = 0,则总结果变成0,错误;另一个初始值是a[1] = 1,表示第2个数最后出栈,比他早出栈的数只有第一个数,其出栈方式就一种,所以a[1] = 1。
代码如下:
import java.util.Scanner;
public class 栈 {
static final int N = 20;
static int[] a = new int[N];
static int n;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt();
a[0] = a[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++)
for(int j = 0; j < i; j++){
// 递推式:a[i] = a[0] * a[i - 1] + a[1] * a[i - 2] + ... + a[i - 1] * a[0]
a[i] += a[j] * a[i - j - 1];
}
System.out.println(a[n]);
}
}