二分图

可以将一个图分为两部分，这两部分内部没有边，都是由一部分连向另外一部分

那么就称这个图为二分图

染色法判别二分图

如何判断二分图

不含奇数环是一个充要条件

只要没有奇数环，就是一个二分图，只要是一个二分图，就没有奇数环

所以我们可以通过染色的方式来判别一个图是不是二分图

首先选一个没有染色的点染上色，然后将与这个点联通的点染上不同的颜色

如果有一个点已经染了色并且这个将要染成不同的颜色，那么就不是一个二分图

算法实现：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!color[j])
        {
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
         if (!color[i])
         {
             if (!dfs(i, 1))
             {
                 flag = false;
                 break;
             }
         }

    if (flag) printf("Yes\n");
    else printf("No\n");

    return 0;
}

匈牙利算法求二分图的最大匹配

什么是最大匹配

加入有一堆男女，男的一堆，女的一堆

他们之间有一些感情

要求将有感情的男女匹配，使匹配数量最多

如何匹配呢

我们可以遍历所有男的，再遍历与他有感情的女的

如果这个女的没有男的与她匹配，那么他俩就匹配成功

如果已经有男的与她匹配，那就看看这个男的可不可能再与其他女的匹配

算法实现：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
	for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if (!st[j])
		{
			st[j] = true;
			if (match[j] == 0 || find(match[j]))
			{
				match[j] = x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);
	
	memset(h, -1, sizeof h);
	
	while (m -- )
	{
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		add(a, b);
	}
	
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
	{
		memset(st, false, sizeof st);
		if (find(i)) res ++ ;
	}
	
	printf("%d\n", res);
	
	return 0;
}