【算法】二分

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bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

经典练习

789.数的范围

给定一个按照升序排列的长度为 nn 的整数数组，以及 qq 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 kk 的起始位置和终止位置（位置从 00 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式
第一行包含整数 nn 和 qq，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 nn 个整数（均在 1∼100001∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 qq 行，每行包含一个整数 kk，表示一个询问元素。

输出格式
共 qq 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
1≤n≤1000001≤n≤100000
1≤q≤100001≤q≤10000
1≤k≤100001≤k≤10000

输入样例

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例

3 4
5 5
-1 -1

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, q;
int a[N];

int main() {
    cin >> n >> q;
    for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
    
    for (int i = 0; i < q; i++) {
        int k;
        cin >> k;
        // 先找最左边
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (a[mid] >= k) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        // 未找到
        if (a[l] != k) cout << "-1 -1" <<endl;
        else {
            int left = l;
            // 找最右边
            l = 0, r = n - 1;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r + 1) >> 1;
                if (a[mid] <= k) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << left << " " << r << endl;
        }
    }
    return 0;
}

力扣题解区总结

• 总结1

• 总结2

• 总结3

拓展

在C++中的STL标准库中提供了 lower_bound 函数，定义在 <algorithm> 头文件中。

lower_bound() 函数用于在指定区域内查找不小于目标值的第一个元素。也就是说，使用该函数在指定范围内查找某个目标值时，最终查找到的不一定是和目标值相等的元素，还可能是比目标值大的元素。

可以利用它来检索区间内某一个数的位置（可以理解为数组的下标）。

例如：

vector<int> v = {1, 2, 5, 7, 10};
int idx1 = lower_bound(v.begin(), v.end(), 5) - v.begin();
int idx2 = lower_bound(v.begin(), v.end(), 8) - v.begin();
int idx3 = lower_bound(v.begin(), v.end(), 12) - v.begin();
cout << "idx1: " << idx1 << endl;
cout << "idx2: " << idx2 << endl;
cout << "idx3: " << idx3 << endl;

输出为：

idx1: 2
idx2: 4
idx3: 5

由上可看出几点：

1. 该函数的返回值是一个迭代器，若想得到在容器中的位置（下标）还需减去其begin；
2. 当想查找元素在区间内时，若有该元素，能返回其位置；否则返回第一个比它大的数的位置；
3. 当元素不在区间内时，返回的迭代器为end，其减去begin后得到的为容器大小。