计组学习 —— Floating Point
浮点数的表示
0b xx.xxxx
\(2^1\ 2^0\ .2^{-1}\ 2^{-2}\ 2^{-3}\ 2^{-4}\)
这是6位数字分别的含义
可以很容易发现，浮点数的精度是一个很大的问题，对于一个十进制的四位小数，最小的精度是0.0001，而在二进制下这个数为1/16，这中间存在精度误差。
而我们常见的整数往往都是由32位表示的，如何使用有限的有效数字进行表示精度就是一个问题。
同时，小数点的位置永远都不会固定，因为对于同样位数的十进制数，很容易分解出不同位数的二进制数，我们无法预先知道小数点的位置。
根据上述描述，我们需要一种机制来允许二进制点改变位置何跟踪这个位置
所以此时，科学计数法可以满足上述需求
通过科学计数法，我们固定了整数只有一位，这样也就固定了小数的位置。
类似十进制的二进制科学计数法：
\(1.0101_2 \ * 2^1\)
计算机里浮点数的存储
（因此获得了图灵奖）
- 标准格式：
\(\large +1.xx...x_{two}*2^{yy...y_{two}}\)
-
单精度存储方式:
-
为了比较负数与正数，我们在Exponent部分采用偏移的方式<移码>
因为如果采用补码，失去了大小关系，只有移码是保留原本的关系的，我们用0-255来表示-127到128
偏差值(bias)为：-127
如果实际指数为127，那么指数字段设置为254，也就是11111110（七个1一个0）
- 接下来，为了处理正无穷和负无穷问题，我们使用128这个指数表示正无穷(在偏差之后对应的值为255，也就是11111111)，使用-127这个指数表示负无穷（在偏差之后对应的值为0，也就是00000000）
-
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双精度存储方式：
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0的特殊表示
我们发现，0x00000000为\(1.0*2^{-127}\)不等于0，
- 一切都因为前面默认有一个1
同时还可以发现，0 00000000 00000000000000000000000
和1 00000000 00000000000000000000000
都表示0，一个是+0一个是-0，
但是这样反倒更方便！
无论是极限，还是对于符号的判断，还是用于0作为坟墓的特殊情况，都很方便！
浮点数总结表格
| 指数 Exponent | 有效数字 Significand | 含义 Meaning |
|---|---|---|
| 0 | 0 | ±0 |
| 0 | 非0 | Denom Numbers |
| 1-254 | 所有数 | ±float浮点数 |
| 255 | 0 | ±∞ |
| 255 | 非0 | NAN（不符合运算规律） |
Denorm Numbers
Denorm Numbers的产生
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如何表示最接近0的数呢？
- 我们假设a=1.00....0x2(1-127) = 2-126
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第二接近的数呢？
- 假设b=1.000...1x2(1-127) = 2-126 + 2-149
-
可以看到0-a之间差了2-126，而a-b之差了2-149，这个差距简直太大了！
所以我们用指数为0，有效数字非0，来表示“不规范的数”，也就是0-a之间的数
Denorm Numbers的定义
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所有这些数都非常小！
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实数部分没有前导1！
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指数部分是-126，不是-127的原因是：当想要移除前导1时，二进制小数点向左移动更多一位。
- 比如，在10进制下 0.0123表示为1.23*10-2,如果我们想要去掉前导1表示为前导0，我们首先要把它表示为0.123*10-1，所以指数的大小减少了1个
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最小的非规范数： ±0.000...01*2-126 = ±2-149
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最大的非规范数： ±0.111...1 * 2-126 = ±(2-126-2-149)
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最小的规范数“： ±2-126
浮点数的限制
- 结果过大？
- x>2128
- 结果过小？
- 0<x<2-149
- 由于分布不均匀，很容易出现精度差
- Small+Big+Small ≠ Small + Small + Big
- 因为它只有23位有效数字！会做近似的取舍，同时在
- 由于分布不均匀，我们无法用浮点数表示出来所有整数
例题
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BIg = 260 Tiny = 2-15 BigNeg = -Big
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Big * Tiny * BigNeg == Big * BigNeg * Tiny
如果Big*BigNeg不数据溢出的话，正确，
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Big+Tiny+BigNeg == BIg+BigNeg +Tiny
错误，因为Big太大了，我们加的时候，我们需要更改二进制后75位有效数字，但是我们的有效位只有23位，所以最后并没有任何内容，所以左侧的表达式会变成0.而0不等于tiny，所以错误。
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