线性泛函，对偶空间，对偶基
线性映射\(V \to \R\)称为线性泛函，本质上是从某个向量空间到一个一维空间的线性映射，而一维空间可以理解为实数。我们知道从某个空间到某个空间的所有线性映射收集到一起也构成一个线性空间，于是我们就可以称泛函\(L \in T(V,\R)\)。例如，\(L(x,y,z)=3x+4y-5z\)就是一个线性泛函。这个线性映射集合\(T(V,\R)\)就是\(V\)的对偶空间，记作\(V'\)。
对于\(V\)的一组基\(\bar{v}\)，如果我们能找到\(n\)个\(V'\)里的泛函\(L_i\)，使得：对于\(L_1\)，在这\(n\)个\(v_i\)里只有\(L_1(v_1)=1\)其余都为0；对于\(L_2\)，只有\(L_2(v_2)=1\)其余都为0……依此类推。这样就把这组\(\{L_i\}\)称为基\(\bar{v}\)对应的对偶基。之所以能称为基，首先是因为我们把泛函\(L\)理解为了\(V'\)中的一个“向量”，其次我们需要证明它具有线性独立性并且能张成整个\(V'\)。
标签：映射,泛函,对偶空间,线性,我们,对偶 From： https://www.cnblogs.com/qixingzhi/p/16977493.html定义映射\(T=c_1L_1+\cdots+c_nL_n\)，注意\(T\)也是一个线性泛函。
要证明线性独立性，即证\(T=0\)当且仅当\(c_i\)恒等于0，其中\(T=0\)表示\(T(v)=0\)恒成立，这个“函数”是恒等于0的。我们知道\(T(v_i)=0\)，根据定义也就是\(T(v_i)=c_iL_i=c_i=0\)。当\(i\)取遍\(1..n\)时，就得到\(c_i=0\)恒成立。
对于\(V'\)中的任何一个泛函\(L\)，假设已知\(L(v_i)=d_i\)。那么我们可以构造一个泛函\(L'=d_1L_1+\cdots+d_nL_n\)，这就使得它在基上满足了\(L'(v_i)=L(v_i)\)，由于基的映射决定整个映射，所以一定有\(L'=L\)。也就是说通过线性组合的方式我们可以表示任何一个\(V'\)中的泛函，也就是线性组合可以张出整个\(V'\)。
综上\(L_i\)是\(V'\)的一组基，对偶基是well-defined的。