在事物的发展过程中,常表现出复杂的波动情况,即时而波动的幅度较缓,而又时常出现波动集聚性(VolatilitY clustering),在风险研究中经常遇到这种情况。恩格尔(Engle)在1982年提出了用来描述方差波动的自回归条件异方差模型ARCH (Autoregressive conditional heteroskedasticity model )。并由博勒斯莱 文(Bollerslev, T., 1986)发展成为广义自回归条件异方 差GARCH (Generalized ARCH),后来又发展成为很多的特殊形式。
在AR(1)过程的背景下,我们花了一些时间来解释当接近于1时会发生什么。
- 如果 过程是平稳的,
- 如果 该过程是随机游走
- 如果 这个过程会大幅波动
同样,随机游走是非常有趣的过程,具有令人费解的特性。例如,
作为
,并且该过程将无限次穿过 x轴…… 我们仔细研究了 ARCH(1) 过程的性质,尤其是当
,我们得到的结果可能令人费解。考虑一些 ARCH(1) 过程
,具有高斯噪声,即
其中
是一个 iid 序列
变量。这里 和 必须是正的。回顾 由于
. 因此
,所以方差存在,并且只有当
, 在这种情况下
此外,如果
,则可以得到第四矩,
. 现在,如果我们回到研究方差时获得的属性,如果
, 或者
?如果我们查看模拟,我们可以生成一个 ARCH(1) 过程 , 例如
。
- > ea=rnorm
- > eson=rnorm
- > sga2=rep
- > for(t in 2:n){
- > plot
为了理解发生了什么,我们应该记住,我们好的是,必须在
之间能够计算出
的第二时刻。 但是,有可能有一个具有无限变异的平稳过程。
迭代
一次又一次地迭代……
其中
在这里,我们有一个正项的总和,我们可以使用所谓的 Cauchy rule: 定义
那么,如果
,
收敛。这里,
也可以写成
并且根据大数定律,因为我们这里有一个独立同分布项的总和,
因此,如果
, 然后
会有限制,当
取无穷大。
上面的条件可以写成
这就是所谓的 Lyapunov 系数。
方程
是一个条件 .
在这种情况下
,这个上界的数值是3.56。
> 1/exp(mean(log(rnorm(1e7)^2)))
在这种情况下 (
),方差可能是无限的,但序列是平稳的。另一方面,如果
, 然后
几乎肯定会走向无穷大,因为 走向无穷大。但是为了观察这种差异,我们需要大量的观察。例如,
和
,
我们很容易看出区别。我并不是说很容易看出上面的分布具有无限的方差,但仍然如此。
如果我们考虑对上述序列绘制希尔图,在正的尾部
> hil
或负的尾部
-epsilon
我们可以看到,尾部指数(严格来说)小于2(意味着2阶的时刻不存在)。
为什么它令人费解?也许是因为这里
不是弱平稳(在意义上),而是强平稳。这不是通常的弱和强的关系方式。这可能就是为什么我们不称其为强平稳性,而称其为严格平稳性。
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