拓扑排序（\(Topological\) \(sorting\)）
拓扑排序指的是有向无环图（\(DAG\)）；
学过计算机网络的知道计算机网络中有一个拓扑结构；
下面就是一个拓扑结构；
那拓扑序就是，图中任意一对顶点\(u\)和\(v\)，若边\(<u,v>∈E(G)\)，则\(u\)在线性序列中出现在\(v\)之前
我们可以发现 拓扑序不是唯一的；
接下来，我们需要知道一个概念——度：
对于有向图的某个结点来说，我们把指向它的边的数量叫做入度；
把从它发出的边的数量称为出度，这个都很好理解吧；
如何获得一个拓扑序：
我们先来找一个 最容易理解的例子，那就是食物链，对一个自然界的食物链来说，一定存在拓扑序；
第一：不存在环；
第二：有向；
接下来我们来看看如何获得一个拓扑序，我们观察最左面的结点，一定是没有指向它的边，也就是入度为零，最右边的结点呢，是一定不存在它指向别人的边的，如果有，那么它就不是最右边的点也就是出度为零；
那就是说，所有入度为零的点都可以作为起点，我们开一个数组记录入度的值；
至于如何使用邻接表存边，这就不展开解释了，可以参考这个：传送门
其实，拓扑排序也是\(bfs\)的一个简单应用，我们需要 借助队列 来实现；
首先，我们遍历存储入度的数组，获得可以作为起点的结点，将其加入队列；
接下来就可以愉快的遍历了，没当我们遍历到一个点的时候，我们让它的入度--；
这样做的 意义 就是，判断指向这个点的边是不是都遍历过了，因为我们要保证拓扑序最重要的一个特点：\(<u,v>\)的边中，\(u\)一定在\(v\)的前面出现；
如果这个点所有的边都遍历过的话，是不是也就是说这个点已经没有指向它的边了，也就是说这个点可以作为一个起点了，那我们将它加入队列；循环这个操作，知道队列为空；
最大食物链数量；最大指的是需要从一个入度为零的点开始到一个出度为零的点,这是一个完整的食物链，问我们给出的食物网中，食物链的数量
① 本题中，不仅需要 记录一下入度 , 还要 记录一下出度，这是因为我们要计算食物链的数量，食物链的最后一个结点，就是出度为零的点
② 食物链的数量,就是一个类似于 数字三角形 求值的\(dp\)问题了
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5010, M = 500010;
const int INF = 0x3f3f3f3f, MOD = 80112002;
int in[N], out[N], f[N];
int n, m;
//链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
void topsort() {
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!in[i]) {
q.push(i);
f[i] = 1;
}
while (q.size()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
in[j]--;
f[j] = (f[j] + f[u]) % MOD;
if (in[j] == 0) q.push(j);
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
while (m--) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b);
in[b]++, out[a]++;
}
topsort();
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!out[i]) res = (res + f[i]) % MOD;
printf("%d", res);
return 0;
}
这个题，我们根据题意是不是知道这个是一个\(DAG\)，我们需要计算的是以城市 \(i\) 为终点最多能够游览多少个城市；这个是不是也是在一个拓扑序上做一个简单的\(dp\)就行了，我们记录一下最大值即可；
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
//链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int in[N], f[N];
void topsort() {
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (!in[i]) {
q.push(i);
f[i] = 1;
}
while (q.size()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
f[j] = max(f[j], f[u] + 1);
in[j]--;
if (in[j] == 0) q.push(j);
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(h, -1, sizeof h);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b);
in[b]++;
}
topsort();
for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", f[i]);
return 0;
}