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382. K取方格数
在一个 \(N \times N\) 的矩形网格中，每个格子里都写着一个非负整数。
可以从左上角到右下角安排 \(K\) 条路线，每一步只能往下或往右，沿途经过的格子中的整数会被取走。
若多条路线重复经过一个格子，只取一次。
求能取得的整数的和最大是多少。
输入格式
第一行包含两个整数 \(N\) 和 \(K\)。
接下来 \(N\) 行，每行包含 \(N\) 个不超过 \(1000\) 的整数，用来描述整个矩形网格。
输出格式
输出一个整数，表示能取得的最大和。
数据范围
\(1 \le N \le 50\),
\(0 \le K \le 10\)
输入样例：
3 2
1 2 3
0 2 1
1 4 2
输出样例：
15
解题思路
费用流
建图：建立源点 \(s\) 和汇点 \(t\)，对于方格上的每个点来说其上的值只能取一次，即对点有限制，需要拆点，即将方格上的每个点拆分为入点和出点，入点向出点连边，容量为 \(1\)，费用为点权，又由于一个点可以经过多次，即可能存在这样一种情况：再次经过该点，但没有权值，不妨再次从入点向出点连边，容量足够大，费用为 \(0\)，同时原方格中点与点之间也需要连边，即每个点的出点需要向其下方和右方的点的入点连边，容量足够大，费用为 \(0\)，另外，源点向方格左上角的第一个点的入点连边，容量为 \(k\)，费用为 \(0\)，方格右下角的最后一个点的出点向 \(t\) 连边，容量为 \(k\)，费用为 \(0\)，最后求解从 \(s\) 到 \(t\) 的最大费用最大流即为所求
\(\color{red}{为什么？}\)
不难发现，建立的流网络中的可行流与实际问题是一一对应的，即从 \(s\) 出发最多 \(k\) 的流量，另外到 \(t\) 也最多 \(k\) 的流量，对应 \(k\) 条不同的路径，对应流网络中的每一条 \(1\) 单位的流量对应一条路径，对于某条入点连向出点的边来说，由于其容量为 \(1\)，即一条路径只会经过该边一次，即取其权值一次，其他经过该点只能通过另外一条没有费用的边，即可能多次经过该点
- 时间复杂度：\(O(n^4k)\)
代码
// Problem: K取方格数
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/384/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5005,M=(N*2+N*2)*2,inf=1e9;
int n,k,S,T;
int h[N],f[M],w[M],ne[M],e[M],idx;
int d[N],pre[N],incf[N],q[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
int get(int x,int y,int t)
{
return (x*n+y)*2+t;
}
bool spfa()
{
memset(d,-0x3f,sizeof d);
memset(incf,0,sizeof incf);
d[S]=0,incf[S]=inf,q[0]=S;
int hh=0,tt=1;
while(hh!=tt)
{
int x=q[hh++];
if(hh==N)hh=0;
st[x]=false;
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]<d[x]+w[i]&&f[i])
{
d[y]=d[x]+w[i];
pre[y]=i;
incf[y]=min(incf[x],f[i]);
if(!st[y])
{
q[tt++]=y;
if(tt==N)tt=0;
st[y]=true;
}
}
}
}
return incf[T]>0;
}
int EK()
{
int cost=0;
while(spfa())
{
int t=incf[T];
cost+=t*d[T];
for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])f[pre[i]]-=t,f[pre[i]^1]+=t;
}
return cost;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d",&n,&k);
S=n*n*2,T=S+1;
add(S,get(0,0,0),k,0);
add(get(n-1,n-1,1),T,k,0);
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
{
int c;
scanf("%d",&c);
add(get(i,j,0),get(i,j,1),1,c);
add(get(i,j,0),get(i,j,1),inf,0);
if(i+1<n)
add(get(i,j,1),get(i+1,j,0),inf,0);
if(j+1<n)
add(get(i,j,1),get(i,j+1,0),inf,0);
}
printf("%d",EK());
return 0;
}