前言
有点思维难度的 DP 优化题。
小知识
在做这道题之前，你需要知道：\(x - y, y - x \le x \oplus y \le x + y\)。
证明非常简单，利用异或的性质即可。
思路
容易想到类似 LIS 的东西。设 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 下标元素结尾，最长子序列长度，有：
\[dp_i = \max\limits_{j=1}^{i-1}\left[a_j \oplus i < a_i \oplus j\right] \{dp_j + 1\} \]注意下标，如题从 \(0\) 开始。
然后我们得到一个 \(O(n^2)\) 的 DP。题目告诉我们 \(a_i\) 较小，必定有端倪。于是尝试对 \(a_j \oplus i < a_i \oplus j\) 化简。
根据上面的引理，可得：\(i - a_j < a_i + j\)。进而得 \(i - j < a_i + a_j \le 200 + 200 = 400\)。
进一步地，\(i- j \le 400\) 可以得出 \(j \ge i - 400\)。
故，枚举 \(i\) 后，\(j\) 只需枚举 \(\max\{0, i - 400\}\) 到 \((i - 1)\) 就够了。
时间复杂度 \(O(k n)\)，其中 \(k\) 为 \(400\)。\((3 \times 10^5) \times 400 = 12 \times 10^7 = 1.2 \times 10^8\)。
有点大，但其余常数极小，并且没有极限数据，因此能过。
完整代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
int read()
{
char op = getchar(); int x = 0, f = 1;
while (op < 48 || op > 57) {if (op == '-') f = -1; op = getchar();}
while (48 <= op && op <= 57) x = (x << 1) + (x << 3) + (op ^ 48), op = getchar();
return x * f;
}
void write(int x)
{
if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
if (x > 9) write(x / 10);
putchar(x % 10 + 48);
}
const int N = 3e5 + 5;
int a[N], dp[N];
void solve()
{
int n = read(), maxn = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) a[i] = read(), dp[i] = 1; //注意要按题目的下标来
for (int i = 0; i < n; maxn = max(maxn, dp[i]), i++) //稍微严重的压行，意思是 maxn = max{ dp[i] }
for (int j = max(i - 400, 0); j < i; j++)
if ( (a[j] ^ i) < (a[i] ^ j) ) //需要注意，小于号两边的异或运算都要加括号，避免优先级错误
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
write(maxn), endl;
}
int main()
{
int T = read();
while (T--) solve();
return 0;
}
希望能帮助到大家！
首发：2022-08-19 21:29:45