CF1715C 题解

前言

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简单的数学题。

思路

每次只变一个数，因此考虑在短时间内计算：每个位置的数产生的贡献。

容易发现以下的条件：

• 不管 \(a_i\) 是什么，当它作为一个子串的首项时，块数一定会加一。共有 \((n - i + 1)\) 个串的首项是 \(a_i\)。
• 如果 \(a_i \ne a_{i-1}\)，所有包含 \(a_i\) 与 \(a_{i+1}\) 的子串，块数都加一。乘法原理，头有 \((i - 1)\) 个位置可以选（\(0\) 到 \(i - 1\)），尾有 \((n - i + 1)\) 个位置可以选（\(i\) 到 \(n\)），共 \((i - 1) \times (n - i + 1)\)。

那么，我们就可以知道 \(a_{i - 1}\) 与 \(a_i\) 间产生的贡献是多少。

typedef long long LL;
LL calc(int i) //统计 a[i-1]与a[i]间产生的贡献
{
	LL k = n - i + 1; //以 a[i] 为头的所有子串，不管a[i-1]与a[i]相不相同，都要计算贡献。 
	if (a[i-1] == a[i]) return k;
	return 1ll * (i - 1) * (n - i + 1) + k; //不同才会产生贡献
}

然后，我们可以计算：原本的 \(a\) 数组有多少贡献。这非常简单。

LL sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
for (int i = 1; i <= n; i++) sum += calc(i);

那么，怎样在短时间内计算 \(a_i\) 改变后的值呢？只需要：

1. 减去 \(a_{i-1}\) 与 \(a_i\) 产生的贡献，减去 \(a_i\) 与 \(a_{i + 1}\) 产生的贡献。因为它们过一会会变。
2. 更改 \(a_i\)。
3. 重新加上 \(a_{i-1}\) 与 \(a_i\) 产生的贡献，以及加上 \(a_i\) 与 \(a_{i + 1}\) 产生的贡献。

然后再输出结果即可。

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define space putchar(' ')
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
typedef long long LL;
int read()
{
	char op = getchar(); int x = 0, f = 1;
	while (op < 48 || op > 57) {if (op == '-') f = -1; op = getchar();}
	while (48 <= op && op <= 57) x = (x << 1) + (x << 3) + (op ^ 48), op = getchar();
	return x * f;
}
void write(LL x)
{
	if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + 48);
}
int n, m, a[100005];
LL calc(int i) //统计 a[i-1]与a[i]间产生的贡献
{
	LL k = n - i + 1; //以 a[i] 为头的所有子串，不管a[i-1]与a[i]相不相同，都要计算贡献。 
	if (a[i-1] == a[i]) return k;
	return 1ll * (i - 1) * (n - i + 1) + k; //不同才会产生贡献
}
int main()
{
	n = read(), m = read();
	LL sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++) sum += calc(i);
	while (m--)
	{
		int i = read(), k = read(); //a[i] = k
		sum -= calc(i), sum -= calc(i+1);
		a[i] = k;
		sum += calc(i), sum += calc(i+1);
		write(sum), endl;
	}
	return 0;
}

希望能帮助到大家！

首发：2022-08-25 12:22:47