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2174. 费用流
给定一个包含 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，并给定每条边的容量和费用，边的容量非负。
图中可能存在重边和自环，保证费用不会存在负环。
求从 \(S\) 到 \(T\) 的最大流，以及在流量最大时的最小费用。
输入格式
第一行包含四个整数 \(n,m,S,T\)。
接下来 \(m\) 行，每行三个整数 \(u,v,c,w\)，表示从点 \(u\) 到点 \(v\) 存在一条有向边，容量为 \(c\)，费用为 \(w\)。
点的编号从 \(1\) 到 \(n\)。
输出格式
输出点 \(S\) 到点 \(T\) 的最大流和流量最大时的最小费用。
如果从点 \(S\) 无法到达点 \(T\) 则输出 0 0。
数据范围
\(2≤n≤5000\),
\(1≤m≤50000\),
\(0≤c≤100\),
\(-100 \le w \le 100\)
\(S≠T\)
输入样例：
5 5 1 5
1 4 10 5
4 5 5 10
4 2 12 5
2 5 10 15
1 5 10 10
输出样例：
20 300
解题思路
费用流
引入费用流时流网络中的边不止有流量的概念，还得有费用的概念
费用流即最小/大费用最大流（即最大可行流中的最小/大费用）的简称
费用流：\(最大流时每条边上的可行流\times 该边上的费用\)
EK 算法改进的费用流算法比较常见，这里主要讨论这个改进后的算法
主要是将 EK 算法中的 bfs 改为 spfa，spfa 用来求解源点 \(s\) 到 \(t\) 的最短/长路（即 \(s\) 到 \(t\) 上的最小路径费用和）在求最短/长路的同时找到一条增广路径，然后增加这部分的费用，直到找不到增广路径为止，\(\color{red}{为什么这样可以求解费用流}\)，假设对于当前可行流 \(f_1\)，\(f_1\) 是费用最小的，假设在 \(f_1\) 的残余网络中经过 spfa 找到一条增广路径，即可行流 \(f_2\)，则可知 \(f=f_1+f_2\) 仍是一个可行流，假设此时 \(f\) 虽然是当前为止费用并非最小的可行流，即有这样一个可行流 \(f'=f_1+f_2'\)，其中 \(|f|=|f'|\)，但是 \(f'\) 的费用要比 \(f\) 小，注意，此时有 \(|f_2|=|f_2'|\)，设 \(cost(f)\) 为 \(f\) 这个可行流的费用，则 \(cost(f')=cost(f_1)+cost(f_2')=cost(f_1)+|f_2'|\times dist(f_2'))<cost(f)=cost(f_1)+cost(f_2)=cost(f_1)+|f_2|\times dist(f_2)\)，则有 \(dist(f_2')<dist(f_2)\)，由于 \(dist(f_2)\) 已经是最短路了，故假设不成立，故这种方法正确
设最大流为 \(f\)，\(k\) 为 spfa 算法的常数，则：
- 时间复杂度：\(O(kmf)\)
类似的，也有 dinic 算法的改进版
- 时间复杂度：\(O(kmf)\)
代码
- EK 算法改进
// Problem: 费用流
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2176/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 5000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5005,M=100005,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],ne[M],f[M],w[M],e[M],idx;
int incf[N],d[N],q[N],pre[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
int hh=0,tt=1;
memset(d,0x3f,sizeof d);
memset(incf,0,sizeof incf);
q[0]=S,d[S]=0,incf[S]=inf;
while(hh!=tt)
{
int x=q[hh++];
if(hh==N)hh=0;
st[x]=false;
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
{
d[y]=d[x]+w[i];
pre[y]=i;
incf[y]=min(incf[x],f[i]);
if(!st[y])
{
q[tt++]=y;
if(tt==N)tt=0;
st[y]=true;
}
}
}
}
return incf[T]>0;
}
void EK(int &flow,int &cost)
{
flow=cost=0;
while(spfa())
{
int t=incf[T];
flow+=t,cost+=t*d[T];
for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])
{
f[pre[i]]-=t;
f[pre[i]^1]+=t;
}
}
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
add(a,b,c,d);
}
int flow,cost;
EK(flow,cost);
printf("%d %d",flow,cost);
return 0;
}
- dinic 算法改进
// Problem: 费用流
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/2176/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 5000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> void inline read(T &x) {
int f = 1; x = 0; char s = getchar();
while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
x *= f;
}
const int N=5005,M=100005,inf=1e9;
int n,m,S,T;
int h[N],ne[M],f[M],w[M],e[M],idx;
int incf[N],d[N],q[N],cur[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c,int d)
{
e[idx]=b,f[idx]=c,w[idx]=d,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
e[idx]=a,f[idx]=0,w[idx]=-d,ne[idx]=h[b],h[b]=idx++;
}
bool spfa()
{
for(int i=1;i<=n;i++)cur[i]=h[i],d[i]=inf,incf[i]=0;
d[S]=0,incf[S]=inf;
q[0]=S;
int hh=0,tt=1;
while(hh!=tt)
{
int x=q[hh++];
if(hh==N)hh=0;
st[x]=false;
for(int i=h[x];~i;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]>d[x]+w[i]&&f[i])
{
d[y]=d[x]+w[i];
incf[y]=min(incf[x],f[i]);
if(!st[y])
{
q[tt++]=y;
if(tt==N)tt=0;
st[y]=true;
}
}
}
}
return incf[T]>0;
}
int dfs(int x,int limit,int &cost)
{
if(x==T)
{
cost+=d[T]*limit;
return limit;
}
st[x]=true;
int flow=0;
for(int i=cur[x];~i&&flow<limit;i=ne[i])
{
int y=e[i];
if(d[y]==d[x]+w[i]&&f[i]&&!st[y])
{
int t=dfs(y,min(f[i],limit-flow),cost);
if(!t)d[y]=inf;
f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
}
}
st[x]=false;
return flow;
}
void dinic(int &max_flow,int &cost)
{
max_flow=cost=0;
int flow=0;
while(spfa())while(flow=dfs(S,inf,cost))max_flow+=flow;
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof h);
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int a,b,c,d;
scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
add(a,b,c,d);
}
int flow,cost;
dinic(flow,cost);
printf("%d %d",flow,cost);
return 0;
}