本系列所有题目均为Acwing课的内容,发表博客既是为了学习总结,加深自己的印象,同时也是为了以后回过头来看时,不会感叹虚度光阴罢了,因此如果出现错误,欢迎大家能够指出错误,我会认真改正的。同时也希望文章能够让你有所收获,与君共勉!
Prim算法求最小生成树
给定一个 n 个点 m 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible
。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E),其中 V 表示图中点的集合,E 表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible
。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000
。
输入样例:
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例:
6
算法原理
由朴素版Dijkstra求最短路的思路得到朴素版Prim算法求最小生成树。算法步骤如下:
- 找出距离最小生成树最近的点
t
- 判断该点
t
是否与最小生成树连通,如果不连通说明不能构成最小生成树,返回impossible
,否则就将该店加入最小生成树内,并且要加上树到该点的距离来重新计算最小生成树边权之和。 - 更新
t
所连接的点到最小生成树的距离d[j] = min(d[j],g[t][j])
更详细的讲解看注释。
代码实现
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N],d[N];
bool st[N];
int n,m;
int prim(){
memset(d,0x3f,sizeof d);
int res=0;
for(int i=0; i < n; ++i){ // 找出n个点组成的完全图的最小生成树
int t=0; // 距离树最近的点
for(int j=1; j <= n ; ++j){ // 找出距离树最近的点
if(!st[j] &&(!t || d[t] > d[j])) // 不在树内并且t到树的距离大于j到树的距离,最重要的是第一次循环一定要更新t,这样t才能在图中出现
t = j;
}
if(i && d[t] == INF) return INF; // 如果树内存在点且最近的点到树的距离为INF,说明该点与树不连通
if(i) res += d[t]; // 更新树的边权之和
st[t] = true; // 将该点放入最小生成树中
for(int j = 1; j <= n; ++j) d[j] = min(d[j],g[t][j]); // 更新t连接的点j到最小生成树的距离
}
return res;
}
int main(void){
cin >> n >> m;
memset(g,0x3f,sizeof g);
while(m--){
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c); // 最小生成树是一个无向图,因此需要连接两条边
}
int t = prim();
if(t==INF){
puts("impossible");
}
else{
cout << t << endl;
}
return 0;
}
Kruskal算法求最小生成树
给定一个 n 个点 m 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible
。
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)
,其中 V 表示图中点的集合,E 表示图中边的集合,n=|V|
,m=|E|
。
由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1
条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。
输出格式
共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible
。
数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。
输入样例:
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例:
6
算法原理
代码实现
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010,M = 200010,INF = 0x3f3f3f3f;
struct edge{ // 最简单的存图方式
int a,b,w;
bool operator< (const edge &W)const
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int p[N];
int n,m;
int find(int x){
if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal(){
for(int i=1; i <= n ; ++i) p[i] = i; // 初始化并查集
sort(edges,edges + m); // 根据边进行排序
int cnt = 0,res = 0; // 进入最小生成树的边的数量,如果不到n个说明存在边的两个端点不连通,即与最小生成树不连通,返回imposisible
for(int i=0;i < m ; ++i){
int a = edges[i].a,b = edges[i].b,w = edges[i].w; // 取出这个点
a = find(a),b = find(b); // 找到这条边两个端点的祖宗节点,a是最小生成树的点,b是要加入的点
if(a != b){ // 如果不具有同一个祖宗结点即b不在树内部,则可将b加入a,如果b与树不连通,则一定具有相同结点
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if(cnt < n-1) return INF; // 如果加入的边不超过n-1个,说明存在这条边的一个点与树不连通,返回INF
else return res;
}
int main(void){
cin >> n >> m;
for(int i=0; i < m ; ++i){ // 建图存边
int a,b,c;
cin >> a >> b >> c;
edges[i] = {a,b,c};
}
int t = kruskal();
if(t == INF){
puts("impossible");
}
else{
cout << t << endl;
}
return 0;
}
标签:12,int,最小,生成,01,2022,impossible,INF,include
From: https://www.cnblogs.com/WangChe/p/16941176.html