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2022-12-01 Acwing每日一题

时间:2022-12-01 13:56:03浏览次数:103  
标签:12 int 最小 生成 01 2022 impossible INF include

本系列所有题目均为Acwing课的内容,发表博客既是为了学习总结,加深自己的印象,同时也是为了以后回过头来看时,不会感叹虚度光阴罢了,因此如果出现错误,欢迎大家能够指出错误,我会认真改正的。同时也希望文章能够让你有所收获,与君共勉!

Prim算法求最小生成树

给定一个 n 个点 m 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

给定一张边带权的无向图 G=(V,E),其中 V 表示图中点的集合,E 表示图中边的集合,n=|V|,m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式
共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 10000

输入样例:

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例:
6

算法原理

由朴素版Dijkstra求最短路的思路得到朴素版Prim算法求最小生成树。算法步骤如下:

  1. 找出距离最小生成树最近的点t
  2. 判断该点t是否与最小生成树连通,如果不连通说明不能构成最小生成树,返回impossible,否则就将该店加入最小生成树内,并且要加上树到该点的距离来重新计算最小生成树边权之和。
  3. 更新t所连接的点到最小生成树的距离d[j] = min(d[j],g[t][j])

更详细的讲解看注释。

代码实现

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 510,INF = 0x3f3f3f3f;
int g[N][N],d[N];
bool st[N];
int n,m;

int prim(){
	memset(d,0x3f,sizeof d);
	int res=0;
	
	for(int i=0; i < n; ++i){	// 找出n个点组成的完全图的最小生成树
		int  t=0;	// 距离树最近的点
		for(int j=1; j <= n ; ++j){	// 找出距离树最近的点
			if(!st[j] &&(!t ||  d[t] > d[j]))	// 不在树内并且t到树的距离大于j到树的距离,最重要的是第一次循环一定要更新t,这样t才能在图中出现
				t = j;
		}
		if(i && d[t] == INF)	return INF;	// 如果树内存在点且最近的点到树的距离为INF,说明该点与树不连通	
		if(i)	res += d[t];	// 更新树的边权之和
		st[t] = true;	// 将该点放入最小生成树中
		for(int j = 1; j <= n; ++j)	d[j] = min(d[j],g[t][j]);	// 更新t连接的点j到最小生成树的距离
	}
	return res;
}

int main(void){
	cin >> n >> m;
	memset(g,0x3f,sizeof g);
	while(m--){
		int a,b,c;
		cin >> a >> b >> c;
		g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b],c);	// 最小生成树是一个无向图,因此需要连接两条边
	}
	int t = prim();
	if(t==INF){
		puts("impossible");
	}
	else{
		cout << t << endl;
	}
	return 0;
}

Kruskal算法求最小生成树

给定一个 n 个点 m 条边的无向图,图中可能存在重边和自环,边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

给定一张边带权的无向图 G=(V,E),其中 V 表示图中点的集合,E 表示图中边的集合,n=|V|m=|E|

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树,其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行,每行包含三个整数 u,v,w,表示点 u 和点 v 之间存在一条权值为 w 的边。

输出格式
共一行,若存在最小生成树,则输出一个整数,表示最小生成树的树边权重之和,如果最小生成树不存在则输出 impossible

数据范围
1≤n≤105,
1≤m≤2∗105,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过 1000。

输入样例:

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4

输出样例:

6

算法原理

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010,M = 200010,INF = 0x3f3f3f3f;


struct edge{	// 最简单的存图方式
	int a,b,w;
	
	bool operator< (const edge &W)const
	{
		return w < W.w;
	}
}edges[M];


int p[N];
int n,m;

int find(int x){
	if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
	return p[x];
}


int kruskal(){
	for(int i=1; i <= n ; ++i)	p[i] = i;	// 初始化并查集
	
	sort(edges,edges + m);	// 根据边进行排序
	
	int cnt = 0,res = 0;	// 进入最小生成树的边的数量,如果不到n个说明存在边的两个端点不连通,即与最小生成树不连通,返回imposisible
	for(int i=0;i < m ; ++i){
		int a = edges[i].a,b = edges[i].b,w = edges[i].w;	// 取出这个点
		
		a = find(a),b = find(b);	// 找到这条边两个端点的祖宗节点,a是最小生成树的点,b是要加入的点
		
		if(a != b){	// 如果不具有同一个祖宗结点即b不在树内部,则可将b加入a,如果b与树不连通,则一定具有相同结点
			p[a] = b;
			res += w;
			cnt ++ ;
		}
	}
	
	if(cnt < n-1) return INF;	// 如果加入的边不超过n-1个,说明存在这条边的一个点与树不连通,返回INF
	else return res;
}

int main(void){

	cin >> n >> m;
	
	for(int i=0; i < m ; ++i){	// 建图存边
		int a,b,c;
		cin >> a >> b >> c;
		edges[i] = {a,b,c};
	}
	int t = kruskal();
	
	if(t == INF){
		puts("impossible");
	}
	else{
		cout << t << endl;
	}
	return 0;
}

标签:12,int,最小,生成,01,2022,impossible,INF,include
From: https://www.cnblogs.com/WangChe/p/16941176.html

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