题目
题目描述
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij均为非负整数。游戏规则如下：
1.每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
2.每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3.每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 * \(2^i\)，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；
4.游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。
输入描述
第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。
输出描述
输出一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。
示例1
输入
2 3
1 2 3
3 4 2
输出
82
说明
第1次：第1行取行首元素，第2行取行尾元素，本次得分为1 * 21 + 2 * 21 = 6
第2次：两行均取行首元素，本次得分为2 * 22 + 3 * 22 = 20
第3次：得分为3 * 23 + 4 * 23 = 56。
总得分为6 + 20 + 56 = 82
示例2
输入
1 4
4 5 0 5
输出
122
示例3
输入
2 10
96 56 54 46 86 12 23 88 80 43
16 95 18 29 30 53 88 83 64 67
输出
316994
备注
60%的数据满足：\(1 ≤ n, m ≤ 30\) , 答案不超过 \(10^{16}\)
100%的数据满足：\(1 ≤ n, m ≤ 80, 0 ≤ a_{ij} ≤ 1000\)
题解
知识点：区间dp。
矩阵每行独立区间dp即可。但需要高精度或者 __int128 ，这里展示的是后者的用法，必须要快读快写输入，因为不支持普通输入输出。
时间复杂度 \(O(nm^2)\)
空间复杂度 \(O(m^2)\)
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
///快读
template<class T>
inline void read(T &val) {
T x = 0, f = 1;char c = getchar();
while (c < '0' || c>'9') { if (c == '-') f = -1;c = getchar(); }///整数符号
while (c >= '0' && c <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);c = getchar(); }///挪位加数
val = x * f;
}
///快写
template<class T>
inline void write(T x) {
if (x < 0) { putchar('-');x = -x; }
if (x >= 10) write(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int a[87][87];
__int128_t dp[87][87];
int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n, m;
read(n), read(m);
for (int i = 1;i <= n;i++)
for (int j = 1;j <= m;j++)
read(a[i][j]);
__int128_t ans = 0;
for (int row = 1;row <= n;row++) {
for (int i = 1;i <= m;i++) dp[i][i] = a[row][i] * ((__int128_t)1 << m);
for (int l = 2;l <= m;l++) {
for (int i = 1, j = l;j <= m;i++, j++) {
dp[i][j] =
max(
dp[i + 1][j] + a[row][i] * ((__int128_t)1 << m - l + 1),
dp[i][j - 1] + a[row][j] * ((__int128_t)1 << m - l + 1)
);
}
}
ans += dp[1][m];
}
write(ans);
puts("");
return 0;
}