• 归并排序
• 快速排序
• 归并排序与快速排序的区别
• 思考

归并排序

1.算法原理:
如果要排序一个数组，我们先把数组从中间分成前后两部分，然后对前后两部分分别排序，再将排好序的两部分合并在一起，这样整个数组就都有序了。

用递归代码来实现归并排序

递推公式：
merge_sort(p…r) = merge(merge_sort(p…q), merge_sort(q+1…r))

终止条件：
p >= r 不用再继续分解

merge_sort(p…r) 表示，给下标从 p 到 r 之间的数组排序。我们将这个排序问题转化为了两个子问题，merge_sort(p…q) 和 merge_sort(q+1…r)，其中下标 q 等于 p 和 r 的中间位置，也就是 (p+r)/2。当下标从 p 到 q 和从 q+1 到 r 这两个子数组都排好序之后，我们再将两个有序的子数组合并在一起，这样下标从 p 到 r 之间的数据就也排好序了。
2. 性能分析
1）算法稳定性：
归并排序稳不稳定关键要看merge()函数，也就是两个子数组合并成一个有序数组的那部分代码。在合并的过程中，如果 A[p…q] 和 A[q+1…r] 之间有值相同的元素，那我们就可以像伪代码中那样，先把 A[p…q] 中的元素放入tmp数组，这样 就保证了值相同的元素，在合并前后的先后顺序不变。所以，归并排序是一种稳定排序算法。
2）时间复杂度：分析归并排序的时间复杂度就是分析递归代码的时间复杂度
如何分析递归代码的时间复杂度？
递归的适用场景是一个问题a可以分解为多个子问题b、c，那求解问题a就可以分解为求解问题b、c。问题b、c解决之后，我们再把b、c的结果合并成a的结果。若定义求解问题a的时间是T(a)，则求解问题b、c的时间分别是T(b)和T(c)，那就可以得到这样的递推公式：T(a) = T(b) + T(c) + K，其中K等于将两个子问题b、c的结果合并成问题a的结果所消耗的时间。这里有一个重要的结论：不仅递归求解的问题可以写成递推公式，递归代码的时间复杂度也可以写成递推公式。套用这个公式，那么归并排序的时间复杂度就可以表示为：

T(1) = C；   n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1，其中n就是merge()函数合并两个子数组的的时间复杂度O(n)。
T(n) = 2*T(n/2) + n
     = 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
     = 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
     = 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
     ......
     = 2^k * T(n/2^k) + k * n
     ......

当T(n/2^k)=T(1) 时，也就是 n/2^k=1，我们得到k=log2 ⁿ。将k带入上面的公式就得到T(n)=Cn+nlog2n。如用大O表示法，T(n)就等于O(nlogn)。所以，归并排序的是时间复杂度就是O(nlogn)。

3）空间复杂度：归并排序算法不是原地排序算法，空间复杂度是O(n)
因为归并排序的合并函数，在合并两个数组为一个有序数组时，需要借助额外的存储空间。为什么空间复杂度是O(n)而不是O(nlogn)呢？如果我们按照分析递归的时间复杂度的方法，通过递推公式来求解，那整个归并过程需要的空间复杂度就是O(nlogn)，但这种分析思路是有问题的！因为，在实际上，递归代码的空间复杂度并不是像时间复杂度那样累加，而是这样的过程，即在每次合并过程中都需要申请额外的内存空间，但是合并完成后，临时开辟的内存空间就被释放掉了，在任意时刻，CPU只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时空间再大也不会超过n个数据的大小，所以空间复杂度是O(n)。

快速排序

1. 算法原理
   如果要排序数组中下标从p到r之间的一组数据，我们选择p到r之间的任意一个数据作为pivot（分区点）。然后遍历p到r之间的数据，将小于pivot的放到左边，将大于pivot的放到右边，将povit放到中间。经过这一步之后，数组p到r之间的数据就分成了3部分，前面p到q-1之间都是小于povit的，中间是povit，后面的q+1到r之间是大于povit的。根据分治、递归的处理思想，我们可以用递归排序下标从p到q-1之间的数据和下标从q+1到r之间的数据，直到区间缩小为1，就说明所有的数据都有序了。

递推公式：
quick_sort(p…r) = quick_sort(p…q-1) + quick_sort(q+1… r)

终止条件：
p >= r

具体代码：

// 快速排序，A是数组，n表示数组的大小
quick_sort(A, n) {
  quick_sort_c(A, 0, n-1)
}
// 快速排序递归函数，p,r为下标
quick_sort_c(A, p, r) {
  if p >= r then return
  
  q = partition(A, p, r) // 获取分区点
  quick_sort_c(A, p, q-1)
  quick_sort_c(A, q+1, r)
}

归并排序中有一个merge()合并函数，我们这里有一个partition()分区函数。partition() 分区函数实际上我们前面已经讲过了，就是随机选择一个元素作为 pivot（一般情况下，可以选择 p 到 r 区间的最后一个元素），然后对 A[p...r]分区，函数返回 pivot 的下标。

不考虑空间消耗的话，partition() 分区函数可以写得非常简单。我们申请两个临时数组 X 和 Y，遍历 A[p...r]，将小于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 X，将大于 pivot 的元素都拷贝到临时数组 Y，最后再将数组 X 和数组 Y 中数据顺序拷贝到 A[p....r]。

2. 性能分析

• 算法稳定性：
  因为分区过程中涉及交换操作，如果数组中有两个8，其中一个是pivot，经过分区处理后，后面的8就有可能放到了另一个8的前面，先后顺序就颠倒了，所以快速排序是不稳定的排序算法。比如数组[1,2,3,9,8,11,8]，取后面的8作为pivot，那么分区后就会将后面的8与9进行交换。
• 时间复杂度：最好、最坏、平均情况
  快排也是用递归实现的，所以时间复杂度也可以用递推公式表示。
  如果每次分区操作都能正好把数组分成大小接近相等的两个小区间，那快排的时间复杂度递推求解公式跟归并的相同。
  T(1) = C； n=1 时，只需要常量级的执行时间，所以表示为 C。
  T(n) = 2*T(n/2) + n； n>1
  所以，快排的时间复杂度也是O(nlogn)。
  如果数组中的元素原来已经有序了，比如1，3，5，6，8，若每次选择最后一个元素作为pivot，那每次分区得到的两个区间都是不均等的，需要进行大约n次的分区，才能完成整个快排过程，而每次分区我们平均要扫描大约n/2个元素，这种情况下，快排的时间复杂度就是O(n^2)。
  前面两种情况，一个是分区及其均衡，一个是分区极不均衡，它们分别对应了快排的最好情况时间复杂度和最坏情况时间复杂度。那快排的平均时间复杂度是多少呢？T(n)大部分情况下是O(nlogn)，只有在极端情况下才是退化到O(n^2)，而且我们也有很多方法将这个概率降低。
• 空间复杂度：快排是一种原地排序算法，空间复杂度是O(1)

归并排序与快速排序的区别

1. 归并排序，是先递归调用，再进行合并，合并的时候进行数据的交换。所以它是自下而上的排序方式。何为自下而上？就是先解决子问题，再解决父问题。

2. 快速排序，是先分区，在递归调用，分区的时候进行数据的交换。所以它是自上而下的排序方式。何为自上而下？就是先解决父问题，再解决子问题。

思考

1.O(n)时间复杂度内求无序数组中第K大元素，比如4，2，5，12，3这样一组数据，第3大元素是4。

我们选择数组区间A[0...n-1]的最后一个元素作为pivot，对数组A[0...n-1]进行原地分区，这样数组就分成了3部分，A[0...p-1]、A[p]、A[p+1...n-1]。

如果如果p+1=K，那A[p]就是要求解的元素；如果K>p+1，说明第K大元素出现在A[p+1...n-1]区间，我们按照上面的思路递归地在A[p+1...n-1]这个区间查找。同理，如果K<p+1，那我们就在A[0...p-1]区间查找。
时间复杂度分析:

第一次分区查找，我们需要对大小为n的数组进行分区操作，需要遍历n个元素。第二次分区查找，我们需要对大小为n/2的数组执行分区操作，需要遍历n/2个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为n、n/2、n/4、n/8、n/16......直到区间缩小为1。如果把每次分区遍历的元素个数累加起来，就是等比数列求和，结果为2n-1。所以，上述解决问题的思路为O(n)。