第二章 微分方程与差分方程模型
2.1 常微分方程的求解
2.1.1 符号解求解
例1（符号解）
\(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x^{2}\)
from sympy import *
y = symbols('y', cls=Function)
x = symbols('x')
eq = Eq(y(x).diff(x,2)+2*y(x).diff(x,1)+y(x),x*x)
print(dsolve(eq,y(x)))
输出：
Eq(y(x), x**2 - 4*x + (C1 + C2*x)*exp(-x) + 6)
例2（符号解）
\(\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0 \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=15\end{array}\right.\)
y = symbols('y',cls = Function)
x = symbols('x')
eq = Eq(y(x).diff(x,2)+4*y(x).diff(x,1)+29*y(x),0)
print(dsolve(eq,y(x)))
C1 = symbols('C1')
C2 = symbols('C2')
f = (C1*sin(5*x) + C2*cos(5*x)) * exp(-2*x)
print(f.diff(x,1))
输出：
Eq(y(x), (C1*sin(5*x) + C2*cos(5*x))*exp(-2*x))
-2*(C1*sin(5*x) + C2*cos(5*x))*exp(-2*x) + (5*C1*cos(5*x) - 5*C2*sin(5*x))*exp(-2*x)
2.1.2 数值解求解
本质上内部ode使用到了欧拉法和龙格库塔法
例1
\(y^{\prime}=x^{2}+y^{2}\)
from scipy.integrate import odeint
from numpy import arange
dy = lambda y,x: x**2+y**2
x = arange(0,10.5,0.5)
sol = odeint(dy,0,x)
print("x={}\n对应的数值解y={}".format(x,sol.T))
输出：
x=[ 0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. 6.5
7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5 10. ]
对应的数值解y=[[0.00000000e+000 4.17912909e-002 3.50232067e-001 1.51744848e+000
3.17753007e+002 4.61705896e+011 1.37961302e-306 1.05699242e-307
8.01097889e-307 1.78020169e-306 7.56601165e-307 1.02359984e-306
1.69118108e-306 2.22522597e-306 1.33511969e-306 1.33511018e-306
6.89804133e-307 1.11261162e-306 8.34443015e-308 3.91792476e-317
2.18565567e-312]]
例2
\(y^{\prime}=\frac{1}{x^{2}+1}-2 y^{2}, y(0)=0\)
import matplotlib.pyplot as plt
dy = lambda y,x:1/(1+x**2)-x*y**2
x = arange(0,10.5,0.5)
sol = odeint(dy,0,x)
print("x={}\n对应的数值解y={}".format(x,sol.T))
plt.plot(x,sol)
plt.show()
输出：
x=[ 0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. 6.5
7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5 10. ]
对应的数值解y=[[0. 0.45001281 0.64308473 0.59306028 0.47073468 0.36183003
0.28086488 0.2227396 0.1806778 0.14960431 0.12610963 0.10794596
0.09361754 0.08211012 0.07272093 0.06495247 0.05844527 0.05293465
0.04822232 0.04415738 0.04062331]]
2.1.3 高阶微分方程求解
高阶常微分方程，必须做变量替换，化为一阶微分方程组，再用odeint求数值解。
形式如下：
def f(t,y):
'''
要把y看作一个向量，y = [dy0,dy1,dy2,...]分别表示y的n阶导，那么y[0]就是需要求解的函数，y[1]表示一阶导，y[2]表示二阶导，以此类推
'''
dy1 = y[1] # y[1]=dy/dt,一阶导
dy2 = -4*y[1] - 5*y[0]
# y[0]是最初始，也就是需要求解的函数
# 注意返回的顺序为[一阶导，二阶导]，这就形成了一阶微分方程组
return [dy1,dy2]
例1
\(\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-1000\left(1-y^{2}\right) y^{\prime}+y=0 \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.\)
import numpy as np
def fvdp(t,y):
dy1 = y[1]
dy2 = 1000 * (1-y[0]**2)*y[1] - y[0]
return [dy1,dy2]
def solve_second_order_ode():
x = arange(0,0.25,0.01) # 给x规定范围
y0 = [0.0,2.0] # 初值条件
# 初值[3.0,5.0]表示y(0) = 3,y'(0) = 5
# 返回y，其中y[:,0]是y[0]的值，就是最终解,y[:,1]是y'(x)的值
y = odeint(fvdp,y0,x,tfirst=True)
y1, = plt.plot(x,y[:,0],label = 'y')
y1_1, = plt.plot(x,y[:,1],label = 'y'')
plt.legend(handles = [y1,y1_1])
plt.show()
solve_second_order_ode()
输出：
x=[ 0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. 6.5
7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5 10. ]
对应的数值解y=[[0. 0.45001281 0.64308473 0.59306028 0.47073468 0.36183003
0.28086488 0.2227396 0.1806778 0.14960431 0.12610963 0.10794596
0.09361754 0.08211012 0.07272093 0.06495247 0.05844527 0.05293465
0.04822232 0.04415738 0.04062331]]
2.2 偏微分方程的求解
2.2.1 例1
\(\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=2 x-3 y+3 z \\ \frac{d y}{d t}=4 x-5 y+3 z \\ \frac{d z}{d t}=4 x-4 y+2 z \\ x(0)=1, y(0)=2, z(0)=1\end{array}\right.\)
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
def fun(t,w):
x = w[0]
y = w[1]
z = w[2]
return [2*x-3*y+3*z,4*x-5*y+3*z,4*x-4*y+2*z]
# 初始条件
y0 = [1,2,1]
yy = solve_ivp(fun,(0,10),y0,method='RK45',t_eval = np.arange(1,10,1))
t = yy.t
data = yy.y
plt.plot(t,data[0,:])
plt.plot(t,data[1,:])
plt.plot(t,data[2,:]) # data[x,:]用于对图像中的线进行编号
plt.xlabel("时间s")
plt.show()
# 黄色是x 蓝色是y 绿色是z
2.2.2 例2
\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=-x^{3}-y \\ \frac{d y}{d t}=-y^{3}+x \\ x(0)=1, y(0)=0.5 \end{array}\right.\)
def fun(t,w):
x = w[0]
y = w[1]
return [-x**3-y,-y**3+x]
y0 = [1,0.5]
yy = solve_ivp(fun,(0,100),y0,method='RK45',t_eval=np.arange(0,100,1))
t = yy.t
data = yy.y
plt.plot(t,data[0,:])
plt.plot(t,data[1,:])
plt.xlabel("时间s")
plt.show()
2.3 微分方程案例
2.3.1 人口增长模型
在模型中我们假设：
不考虑死亡率对人口的影响，我们只考虑净增长率
不考虑人口迁移对问题的影响，只考虑自然变化
不考虑重大突发事件对人口的突变性影响
不考虑人口增长率变化的时滞性因素
人口增长主要用三种模型描述：
Malthus Model
Logisitc Model
Leslie Model
Malthus Model
原理
马尔萨斯模型假设增长率永远是个常数r，那么一段时间内增长个体有 \(x(t+\Delta t)-x(t)=x(t) \cdot r \Delta t\)
按照微分方程的形式整理：
\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=x r \\ x(0)=x_{0} \end{array}\right.\)
最终解得：
\(x(t)=x_{0} e^{r t}\)
局限性
Malthus过程呈现一个指数增长，不会发生减缓过程
Logisitc Model
原理
现在对模型进行一些修正， 假设增长率会随着种群数量增加而衰减，种群最大的一个平衡数量叫K,那么可以得到:
\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=x r_{\circ}\left(1-\frac{x}{K}\right) \\ x(0)=x_{0} \end{array}\right.\)
解得：\(x(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{x_{0}}-1\right) e^{-r t}}\)
应用场景
美国人口预报
2.3.2 放射问题
放射性物质半衰期的确定建模其实非常类似于Malthus模型，因为衰变的方程可以写作:
\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d N}{d t}=-\lambda N \\ N\left(t_{0}\right)=N_{0} \end{array}\right.\)
易解：\(N(t)=N_{0} e^{-\lambda\left(t-t_{0}\right)}\)
2.3.3 新冠传播模型
SI模型
SI模型是最简单的传染病传播模型，把人群分为易感者(S类)和患病者(I 类)两类,通过SI模型可以预测传染病高潮的到来;提高卫生水平、强化防控手段,降低病人的日接触率，可以推迟传染病高潮的到来。
原理：易感者与患病者有效接触即被感染,变为患病者,无潜伏期、无治愈情况、无免疫力。以一天作为模型的最小时间单元。总人数为N,不考虑人口的出生与死亡，迁入与迁出，此总人数不变。t时刻两类人群占总人数的比率分别记为s(t)、i(), 两类人群的数量为S(t)、l()。 初始时刻t=0时，各类人数量所占初始比率为s0、i0。 每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数是λ，即日接触数。
\(\mathrm{N} \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \lambda \mathrm{si}\)
\(s(t)+i(t)=1\)
解得
\(\mathrm{i}(\mathrm{t})=\frac{1}{1+\left(1 / \mathrm{i}_{0}-1\right) \mathrm{e}^{-\lambda \mathrm{t}}}\)
\(\mathrm{I}(\mathrm{t})=\mathrm{Ni}(\mathrm{t})\)
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def di_dt(i,t,lamda,mu):
di_dt = lamda*i*(1-i)
return di_dt
number = 1e7 # 总人数
lamda = 1.0 # 日接触率λ，患病者每天接触的易感者的平均人数
mu1 = 0.5 # 日治愈率N，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
i0 =1e-6 # 患病者比例的初值
tEnd = 50 # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1)
yAmaly = 1/(1+(1/i0-1))*np.exp(-lamda*t) # 运用 Logistic 模型解得的 SI 模型符号（解析）解
yInteg = odeint(di_dt,i0,t,args=(lamda,mu1)) # 求解微分方程初值问题（近似解）
yDeriv = lamda * yInteg *(1-yInteg)
# 绘图
plt.plot(t,yAmaly,'-ob',label='analytic')
plt.plot(t,yInteg,":r",label='numerical')
plt.plot(t,yDeriv,"-g",label='di_dt')
plt.title("Cpmparison between analytic and numerical solutions")
plt.legend(loc="right")
plt.axis([0,50,-0.1,1.1])
plt.show()
图中的红色为odeint()得到的数值解，解析解为蓝色线条，我们可以很明显的看出解析解和数值解差异很小，说明数值解的误差很小。
SIS模型
SIS 模型将人群分为 S 类和 I 类，考虑患病者（I 类）可以治愈而变成易感者（S 类），但不考虑免疫期，因此患病者（I 类）治愈变成易感者以后还可以被感染而变成患病者。
# 1. SIS 模型，常微分方程，解析解与数值解的比较
from scipy.integrate import odeint # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 matplotlib包
def dy_dt(y, t, lamda, mu): # SIS 模型，导数函数
dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
return dy_dt
# 设置模型参数
number = 1e5 # 总人数
lamda = 1.2 # 日接触率, 患病者每天有效接触的易感者的平均人数
sigma = 2.5 # 传染期接触数
mu = lamda/sigma # 日治愈率, 每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
fsig = 1-1/sigma
y0 = i0 = 1e-5 # 患病者比例的初值
tEnd = 50 # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1) # (start,stop,step)
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))
# 解析解
if lamda == mu:
yAnaly = 1.0/(lamda*t +1.0/i0)
else:
yAnaly= 1.0/((lamda/(lamda-mu)) + ((1/i0)-(lamda/(lamda-mu))) * np.exp(-(lamda-mu)*t))
# odeint 数值解，求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,0)) # SI 模型
ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,mu)) # SIS 模型
# 绘图
plt.plot(t, yAnaly, '-ob', label='analytic')
plt.plot(t, ySIS, ':.r', label='ySIS')
plt.plot(t, ySI, '-g', label='ySI')
plt.title("Comparison between analytic and numerical solutions")
plt.axhline(y=fsig,ls="--",c='c') # 添加水平直线
plt.legend(loc='best')
plt.axis([0, 50, -0.1, 1.1])
plt.show()
SIR模型
SIR 模型适用于具有易感者、患病者和康复者三类人群，可以治愈，且治愈后终身免疫不再复发的疾病，例如天花、肝炎、麻疹等免疫力很强的传染病。
\(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{N} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{N} \lambda \mathrm{si} \\ \mathrm{Ni} \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \lambda \mathrm{si}-\mu \mathrm{i} \\ \mathrm{s}(\mathrm{t})+\mathrm{i}(\mathrm{t})+\mathrm{r}(\mathrm{t})=1 \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\lambda \mathrm{si}, \quad \mathrm{s}(0)=\mathrm{s}_{0} \\ \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\lambda \mathrm{si}-\mu \mathrm{i}, & \mathrm{i}(0)=\mathrm{i}_{0} \end{array}\right.\)
SIR不能求出解析解，只能通过数值计算方法求解。
# 1. SIR 模型，常微分方程组
from scipy.integrate import odeint # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 matplotlib包
def dySIS(y, t, lamda, mu): # SI/SIS 模型，导数函数
dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
return dy_dt
def dySIR(y, t, lamda, mu): # SIR 模型，导数函数
i, s = y
di_dt = lamda*s*i - mu*i # di/dt = lamda*s*i-mu*i
ds_dt = -lamda*s*i # ds/dt = -lamda*s*i
return np.array([di_dt,ds_dt])
# 设置模型参数
number = 1e5 # 总人数
lamda = 0.2 # 日接触率, 患病者每天有效接触的易感者的平均人数
sigma = 2.5 # 传染期接触数
mu = lamda/sigma # 日治愈率, 每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
fsig = 1-1/sigma
tEnd = 200 # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1) # (start,stop,step)
i0 = 1e-4 # 患病者比例的初值
s0 = 1-i0 # 易感者比例的初值
Y0 = (i0, s0) # 微分方程组的初值
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))
# odeint 数值解，求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,0)) # SI 模型
ySIS = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,mu)) # SIS 模型
ySIR = odeint(dySIR, Y0, t, args=(lamda,mu)) # SIR 模型
# 绘图
plt.title("Comparison among SI, SIS and SIR models")
plt.xlabel('t-youcans')
plt.axis([0, tEnd, -0.1, 1.1])
plt.axhline(y=0,ls="--",c='c') # 添加水平直线
plt.plot(t, ySI, ':g', label='i(t)-SI')
plt.plot(t, ySIS, '--g', label='i(t)-SIS')
plt.plot(t, ySIR[:,0], '-r', label='i(t)-SIR')
plt.plot(t, ySIR[:,1], '-b', label='s(t)-SIR')
plt.plot(t, 1-ySIR[:,0]-ySIR[:,1], '-m', label='r(t)-SIR')
plt.legend(loc='best')
plt.show()
SEIR模型
SEIR 模型考虑存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康复者（Recovered）四类人群，适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。易感者（S 类）被感染后成为潜伏者（E类），随后发病成为患病者（I 类），治愈后成为康复者（R类）。这种情况更为复杂，也更为接近实际情况。
\(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{N} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{N} \lambda \mathrm{si} \\ \mathrm{N} \frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \lambda \mathrm{si}-\mathrm{N} \delta \mathrm{e} \\ \mathrm{N} \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \delta \mathrm{e}-\mathrm{N} \mu \mathrm{i} \\ \mathrm{N} \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \mu \mathrm{i} \end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ll} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\lambda \mathrm{si}, & \mathrm{s}(0)=\mathrm{s}_{0} \\ \frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}=\lambda \mathrm{si}-\delta \mathrm{e}, & \mathrm{e}(0)=\mathrm{e}_{0} \\ \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\delta \mathrm{e}-\mu \mathrm{i}, & \mathrm{i}(0)=\mathrm{i}_{0} \end{array}\right.\)
# 1. SEIR 模型，常微分方程组
from scipy.integrate import odeint # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 matplotlib包
def dySIS(y, t, lamda, mu): # SI/SIS 模型，导数函数
dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
return dy_dt
def dySIR(y, t, lamda, mu): # SIR 模型，导数函数
s, i = y # youcans
ds_dt = -lamda*s*i # ds/dt = -lamda*s*i
di_dt = lamda*s*i - mu*i # di/dt = lamda*s*i-mu*i
return np.array([ds_dt,di_dt])
def dySEIR(y, t, lamda, delta, mu): # SEIR 模型，导数函数
s, e, i = y # youcans
ds_dt = -lamda*s*i # ds/dt = -lamda*s*i
de_dt = lamda*s*i - delta*e # de/dt = lamda*s*i - delta*e
di_dt = delta*e - mu*i # di/dt = delta*e - mu*i
return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])
# 设置模型参数
number = 1e5 # 总人数
lamda = 0.3 # 日接触率, 患病者每天有效接触的易感者的平均人数
delta = 0.03 # 日发病率，每天发病成为患病者的潜伏者占潜伏者总数的比例
mu = 0.06 # 日治愈率, 每天治愈的患病者人数占患病者总数的比例
sigma = lamda / mu # 传染期接触数
fsig = 1-1/sigma
tEnd = 300 # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1) # (start,stop,step)
i0 = 1e-3 # 患病者比例的初值
e0 = 1e-3 # 潜伏者比例的初值
s0 = 1-i0 # 易感者比例的初值
Y0 = (s0, e0, i0) # 微分方程组的初值
# odeint 数值解，求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,0)) # SI 模型
ySIS = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,mu)) # SIS 模型
ySIR = odeint(dySIR, (s0,i0), t, args=(lamda,mu)) # SIR 模型
ySEIR = odeint(dySEIR, Y0, t, args=(lamda,delta,mu)) # SEIR 模型
# 输出绘图
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))
plt.title("Comparison among SI, SIS, SIR and SEIR models")
plt.xlabel('t-youcans')
plt.axis([0, tEnd, -0.1, 1.1])
plt.plot(t, ySI, 'cadetblue', label='i(t)-SI')
plt.plot(t, ySIS, 'steelblue', label='i(t)-SIS')
plt.plot(t, ySIR[:,1], 'cornflowerblue', label='i(t)-SIR')
# plt.plot(t, 1-ySIR[:,0]-ySIR[:,1], 'cornflowerblue', label='r(t)-SIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,0], '--', color='darkviolet', label='s(t)-SIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,1], '-.', color='orchid', label='e(t)-SIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,2], '-', color='m', label='i(t)-SIR')
plt.plot(t, 1-ySEIR[:,0]-ySEIR[:,1]-ySEIR[:,2], ':', color='palevioletred', label='r(t)-SIR')
plt.legend(loc='right')
plt.show()
SEIR改进模型
可见 新冠疫情 SEIR 改进模型，在此不进行过多的详述。
2.4 差分方程（人口模型）
对连续系统进行离散化处理。
将人按年龄分为n组，每组该年人口总数为\(a_i\)，普遍存活率为\(C_i\),普遍生育率为\(b_i\)，下一年每组人口总数为\(a_i'\)，
\(\left\{\begin{array}{l}a_{i}^{\prime}=a_{i-1} c_{i-1}, i=2,3, \ldots, n \\ a_{1}^{\prime}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\end{array}\right.\)
\[\overrightarrow{a^{\prime}}=\left(\begin{array}{ccccc} b_{1} & b_{2} & \ldots & b_{n-1} & b_{n} \\ c_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & c_{2} & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & c_{n-1} & 0 \end{array}\right)\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)^{T} \]该式中左边的矩阵就旦Leslie矩阵.
2.5 数值方法
数值逼近方法
（1）梯度下降（寻找极值）
批量梯度下降法，随机梯度下降法，小批量梯度下降法
（2）牛顿法（寻找极值）
（3）欧拉法（定积分求解）
（4）龙格库塔法（定积分求解）
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