首页 > 其他分享 >第二章 微分方程与差分方程模型

第二章 微分方程与差分方程模型

时间：2022-08-26 16:57:33浏览次数：97  
标签：lamda plt 差分 mu 微分方程 dt 第二章 array mathrm

第二章 微分方程与差分方程模型

2.1 常微分方程的求解

2.1.1 符号解求解

例1（符号解）

\(y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x^{2}\)

from sympy import *

y = symbols('y', cls=Function)
x = symbols('x')
eq = Eq(y(x).diff(x,2)+2*y(x).diff(x,1)+y(x),x*x)
print(dsolve(eq,y(x)))

输出：
Eq(y(x), x**2 - 4*x + (C1 + C2*x)*exp(-x) + 6)

例2（符号解）

\(\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+29 y=0 \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=15\end{array}\right.\)

y = symbols('y',cls = Function)
x = symbols('x')
eq = Eq(y(x).diff(x,2)+4*y(x).diff(x,1)+29*y(x),0)
print(dsolve(eq,y(x)))

C1 = symbols('C1')
C2 = symbols('C2')
f = (C1*sin(5*x) + C2*cos(5*x)) * exp(-2*x)
print(f.diff(x,1))

输出：
Eq(y(x), (C1*sin(5*x) + C2*cos(5*x))*exp(-2*x))
-2*(C1*sin(5*x) + C2*cos(5*x))*exp(-2*x) + (5*C1*cos(5*x) - 5*C2*sin(5*x))*exp(-2*x)

2.1.2 数值解求解

本质上内部ode使用到了欧拉法和龙格库塔法

例1

\(y^{\prime}=x^{2}+y^{2}\)

from scipy.integrate import odeint
from numpy import arange

dy = lambda y,x: x**2+y**2
x = arange(0,10.5,0.5)
sol = odeint(dy,0,x)
print("x={}\n对应的数值解y={}".format(x,sol.T))

输出：
x=[ 0.   0.5  1.   1.5  2.   2.5  3.   3.5  4.   4.5  5.   5.5  6.   6.5
  7.   7.5  8.   8.5  9.   9.5 10. ]
对应的数值解y=[[0.00000000e+000 4.17912909e-002 3.50232067e-001 1.51744848e+000
  3.17753007e+002 4.61705896e+011 1.37961302e-306 1.05699242e-307
  8.01097889e-307 1.78020169e-306 7.56601165e-307 1.02359984e-306
  1.69118108e-306 2.22522597e-306 1.33511969e-306 1.33511018e-306
  6.89804133e-307 1.11261162e-306 8.34443015e-308 3.91792476e-317
  2.18565567e-312]]

例2

\(y^{\prime}=\frac{1}{x^{2}+1}-2 y^{2}, y(0)=0\)

import matplotlib.pyplot as plt

dy  = lambda y,x:1/(1+x**2)-x*y**2
x = arange(0,10.5,0.5)
sol = odeint(dy,0,x)
print("x={}\n对应的数值解y={}".format(x,sol.T))
plt.plot(x,sol)
plt.show()

输出：
x=[ 0.   0.5  1.   1.5  2.   2.5  3.   3.5  4.   4.5  5.   5.5  6.   6.5
  7.   7.5  8.   8.5  9.   9.5 10. ]
对应的数值解y=[[0.         0.45001281 0.64308473 0.59306028 0.47073468 0.36183003
  0.28086488 0.2227396  0.1806778  0.14960431 0.12610963 0.10794596
  0.09361754 0.08211012 0.07272093 0.06495247 0.05844527 0.05293465
  0.04822232 0.04415738 0.04062331]]

2.1.3 高阶微分方程求解

高阶常微分方程，必须做变量替换，化为一阶微分方程组，再用odeint求数值解。

形式如下：

def f(t,y):
	'''
	要把y看作一个向量，y = [dy0,dy1,dy2,...]分别表示y的n阶导，那么y[0]就是需要求解的函数，y[1]表示一阶导，y[2]表示二阶导，以此类推
	'''
    dy1 = y[1] 		# y[1]=dy/dt,一阶导
    dy2 = -4*y[1] - 5*y[0]
    # y[0]是最初始，也就是需要求解的函数
    # 注意返回的顺序为[一阶导，二阶导]，这就形成了一阶微分方程组
    return [dy1,dy2]

例1

\(\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-1000\left(1-y^{2}\right) y^{\prime}+y=0 \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.\)

import numpy as np

def fvdp(t,y):
    dy1 = y[1]
    dy2 = 1000 * (1-y[0]**2)*y[1] - y[0]
    return [dy1,dy2]

def solve_second_order_ode():
    x = arange(0,0.25,0.01)     # 给x规定范围
    y0 = [0.0,2.0]      # 初值条件
    # 初值[3.0,5.0]表示y(0) = 3,y'(0) = 5
    # 返回y，其中y[:,0]是y[0]的值，就是最终解,y[:,1]是y'(x)的值
    y = odeint(fvdp,y0,x,tfirst=True)

    y1, = plt.plot(x,y[:,0],label = 'y')
    y1_1, = plt.plot(x,y[:,1],label = 'y'')
    plt.legend(handles = [y1,y1_1])
    plt.show()

solve_second_order_ode()

输出：
x=[ 0.   0.5  1.   1.5  2.   2.5  3.   3.5  4.   4.5  5.   5.5  6.   6.5
  7.   7.5  8.   8.5  9.   9.5 10. ]
对应的数值解y=[[0.         0.45001281 0.64308473 0.59306028 0.47073468 0.36183003
  0.28086488 0.2227396  0.1806778  0.14960431 0.12610963 0.10794596
  0.09361754 0.08211012 0.07272093 0.06495247 0.05844527 0.05293465
  0.04822232 0.04415738 0.04062331]]

2.2 偏微分方程的求解

2.2.1 例1

\(\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=2 x-3 y+3 z \\ \frac{d y}{d t}=4 x-5 y+3 z \\ \frac{d z}{d t}=4 x-4 y+2 z \\ x(0)=1, y(0)=2, z(0)=1\end{array}\right.\)

import  matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']

def fun(t,w):
    x = w[0]
    y = w[1]
    z = w[2]
    return  [2*x-3*y+3*z,4*x-5*y+3*z,4*x-4*y+2*z]

# 初始条件
y0 = [1,2,1]

yy = solve_ivp(fun,(0,10),y0,method='RK45',t_eval = np.arange(1,10,1))
t = yy.t
data = yy.y
plt.plot(t,data[0,:])
plt.plot(t,data[1,:])
plt.plot(t,data[2,:]) # data[x,:]用于对图像中的线进行编号
plt.xlabel("时间s")
plt.show()

# 黄色是x 蓝色是y 绿色是z

2.2.2 例2

\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=-x^{3}-y \\ \frac{d y}{d t}=-y^{3}+x \\ x(0)=1, y(0)=0.5 \end{array}\right.\)

def fun(t,w):
    x = w[0]
    y = w[1]
    return [-x**3-y,-y**3+x]
y0 = [1,0.5]
yy = solve_ivp(fun,(0,100),y0,method='RK45',t_eval=np.arange(0,100,1))
t = yy.t
data = yy.y
plt.plot(t,data[0,:])
plt.plot(t,data[1,:])
plt.xlabel("时间s")
plt.show()

2.3 微分方程案例

2.3.1 人口增长模型

在模型中我们假设：

不考虑死亡率对人口的影响，我们只考虑净增长率
不考虑人口迁移对问题的影响，只考虑自然变化
不考虑重大突发事件对人口的突变性影响
不考虑人口增长率变化的时滞性因素

人口增长主要用三种模型描述：
Malthus Model
Logisitc Model
Leslie Model

Malthus Model

原理

马尔萨斯模型假设增长率永远是个常数r，那么一段时间内增长个体有 \(x(t+\Delta t)-x(t)=x(t) \cdot r \Delta t\)

按照微分方程的形式整理：

\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=x r \\ x(0)=x_{0} \end{array}\right.\)

最终解得：

\(x(t)=x_{0} e^{r t}\)

局限性

Malthus过程呈现一个指数增长，不会发生减缓过程

Logisitc Model

原理

现在对模型进行一些修正， 假设增长率会随着种群数量增加而衰减，种群最大的一个平衡数量叫K,那么可以得到:

\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=x r_{\circ}\left(1-\frac{x}{K}\right) \\ x(0)=x_{0} \end{array}\right.\)

解得：\(x(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{x_{0}}-1\right) e^{-r t}}\)

应用场景

美国人口预报

2.3.2 放射问题

放射性物质半衰期的确定建模其实非常类似于Malthus模型，因为衰变的方程可以写作:

\(\left\{\begin{array}{l} \frac{d N}{d t}=-\lambda N \\ N\left(t_{0}\right)=N_{0} \end{array}\right.\)

易解：\(N(t)=N_{0} e^{-\lambda\left(t-t_{0}\right)}\)

2.3.3 新冠传播模型

SI模型

SI模型是最简单的传染病传播模型，把人群分为易感者(S类)和患病者(I 类)两类,通过SI模型可以预测传染病高潮的到来;提高卫生水平、强化防控手段,降低病人的日接触率，可以推迟传染病高潮的到来。

原理：易感者与患病者有效接触即被感染,变为患病者,无潜伏期、无治愈情况、无免疫力。以一天作为模型的最小时间单元。总人数为N,不考虑人口的出生与死亡，迁入与迁出，此总人数不变。t时刻两类人群占总人数的比率分别记为s(t)、i(), 两类人群的数量为S(t)、l()。 初始时刻t=0时，各类人数量所占初始比率为s0、i0。 每个患病者每天有效接触的易感者的平均人数是λ，即日接触数。

\(\mathrm{N} \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \lambda \mathrm{si}\)

\(s(t)+i(t)=1\)

解得

\(\mathrm{i}(\mathrm{t})=\frac{1}{1+\left(1 / \mathrm{i}_{0}-1\right) \mathrm{e}^{-\lambda \mathrm{t}}}\)

\(\mathrm{I}(\mathrm{t})=\mathrm{Ni}(\mathrm{t})\)

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def di_dt(i,t,lamda,mu):
    di_dt = lamda*i*(1-i)
    return di_dt

number = 1e7    # 总人数
lamda = 1.0     # 日接触率λ，患病者每天接触的易感者的平均人数
mu1 = 0.5       # 日治愈率N，每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
i0 =1e-6   # 患病者比例的初值
tEnd = 50       # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1)

yAmaly = 1/(1+(1/i0-1))*np.exp(-lamda*t)    # 运用 Logistic 模型解得的 SI 模型符号（解析）解
yInteg = odeint(di_dt,i0,t,args=(lamda,mu1))    # 求解微分方程初值问题（近似解）
yDeriv = lamda * yInteg *(1-yInteg)

# 绘图
plt.plot(t,yAmaly,'-ob',label='analytic')
plt.plot(t,yInteg,":r",label='numerical')
plt.plot(t,yDeriv,"-g",label='di_dt')
plt.title("Cpmparison between analytic and numerical solutions")
plt.legend(loc="right")
plt.axis([0,50,-0.1,1.1])
plt.show()

图中的红色为odeint()得到的数值解，解析解为蓝色线条，我们可以很明显的看出解析解和数值解差异很小，说明数值解的误差很小。

SIS模型

SIS 模型将人群分为 S 类和 I 类，考虑患病者（I 类）可以治愈而变成易感者（S 类），但不考虑免疫期，因此患病者（I 类）治愈变成易感者以后还可以被感染而变成患病者。

# 1. SIS 模型，常微分方程，解析解与数值解的比较
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np  # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 matplotlib包

def dy_dt(y, t, lamda, mu):  # SIS 模型，导数函数
    dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y  # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
    return dy_dt

# 设置模型参数
number = 1e5  # 总人数
lamda = 1.2  # 日接触率, 患病者每天有效接触的易感者的平均人数
sigma = 2.5  # 传染期接触数
mu = lamda/sigma  # 日治愈率, 每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
fsig = 1-1/sigma
y0 = i0 = 1e-5  # 患病者比例的初值
tEnd = 50  # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1)  # (start,stop,step)
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))

# 解析解
if lamda == mu:
    yAnaly = 1.0/(lamda*t +1.0/i0)
else:
    yAnaly= 1.0/((lamda/(lamda-mu)) + ((1/i0)-(lamda/(lamda-mu))) * np.exp(-(lamda-mu)*t))
# odeint 数值解，求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,0))  # SI 模型
ySIS = odeint(dy_dt, y0, t, args=(lamda,mu))  # SIS 模型

# 绘图
plt.plot(t, yAnaly, '-ob', label='analytic')
plt.plot(t, ySIS, ':.r', label='ySIS')
plt.plot(t, ySI, '-g', label='ySI')

plt.title("Comparison between analytic and numerical solutions")
plt.axhline(y=fsig,ls="--",c='c')  # 添加水平直线
plt.legend(loc='best') 
plt.axis([0, 50, -0.1, 1.1])
plt.show()

SIR模型

SIR 模型适用于具有易感者、患病者和康复者三类人群，可以治愈，且治愈后终身免疫不再复发的疾病，例如天花、肝炎、麻疹等免疫力很强的传染病。

\(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{N} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{N} \lambda \mathrm{si} \\ \mathrm{Ni} \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \lambda \mathrm{si}-\mu \mathrm{i} \\ \mathrm{s}(\mathrm{t})+\mathrm{i}(\mathrm{t})+\mathrm{r}(\mathrm{t})=1 \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{ll} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\lambda \mathrm{si}, \quad \mathrm{s}(0)=\mathrm{s}_{0} \\ \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\lambda \mathrm{si}-\mu \mathrm{i}, & \mathrm{i}(0)=\mathrm{i}_{0} \end{array}\right.\)

SIR不能求出解析解，只能通过数值计算方法求解。

# 1. SIR 模型，常微分方程组
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np  # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 matplotlib包

def dySIS(y, t, lamda, mu):  # SI/SIS 模型，导数函数
    dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y  # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
    return dy_dt

def dySIR(y, t, lamda, mu):  # SIR 模型，导数函数
    i, s = y
    di_dt = lamda*s*i - mu*i  # di/dt = lamda*s*i-mu*i
    ds_dt = -lamda*s*i  # ds/dt = -lamda*s*i
    return np.array([di_dt,ds_dt])

# 设置模型参数
number = 1e5  # 总人数
lamda = 0.2  # 日接触率, 患病者每天有效接触的易感者的平均人数
sigma = 2.5  # 传染期接触数
mu = lamda/sigma  # 日治愈率, 每天被治愈的患病者人数占患病者总数的比例
fsig = 1-1/sigma
tEnd = 200  # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1)  # (start,stop,step)
i0 = 1e-4  # 患病者比例的初值
s0 = 1-i0  # 易感者比例的初值
Y0 = (i0, s0)  # 微分方程组的初值

print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))

# odeint 数值解，求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,0))  # SI 模型
ySIS = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,mu))  # SIS 模型
ySIR = odeint(dySIR, Y0, t, args=(lamda,mu))  # SIR 模型

# 绘图
plt.title("Comparison among SI, SIS and SIR models")
plt.xlabel('t-youcans')
plt.axis([0, tEnd, -0.1, 1.1])
plt.axhline(y=0,ls="--",c='c')  # 添加水平直线
plt.plot(t, ySI, ':g', label='i(t)-SI')
plt.plot(t, ySIS, '--g', label='i(t)-SIS')
plt.plot(t, ySIR[:,0], '-r', label='i(t)-SIR')
plt.plot(t, ySIR[:,1], '-b', label='s(t)-SIR')
plt.plot(t, 1-ySIR[:,0]-ySIR[:,1], '-m', label='r(t)-SIR')
plt.legend(loc='best') 
plt.show()

SEIR模型

SEIR 模型考虑存在易感者（Susceptible）、暴露者（Exposed）、患病者（Infectious）和康复者（Recovered）四类人群，适用于具有潜伏期、治愈后获得终身免疫的传染病。易感者（S 类）被感染后成为潜伏者（E类），随后发病成为患病者（I 类），治愈后成为康复者（R类）。这种情况更为复杂，也更为接近实际情况。

\(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{N} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\mathrm{N} \lambda \mathrm{si} \\ \mathrm{N} \frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \lambda \mathrm{si}-\mathrm{N} \delta \mathrm{e} \\ \mathrm{N} \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \delta \mathrm{e}-\mathrm{N} \mu \mathrm{i} \\ \mathrm{N} \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{N} \mu \mathrm{i} \end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{ll} \frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dt}}=-\lambda \mathrm{si}, & \mathrm{s}(0)=\mathrm{s}_{0} \\ \frac{\mathrm{de}}{\mathrm{dt}}=\lambda \mathrm{si}-\delta \mathrm{e}, & \mathrm{e}(0)=\mathrm{e}_{0} \\ \frac{\mathrm{di}}{\mathrm{dt}}=\delta \mathrm{e}-\mu \mathrm{i}, & \mathrm{i}(0)=\mathrm{i}_{0} \end{array}\right.\)

# 1. SEIR 模型，常微分方程组
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np  # 导入 numpy包
import matplotlib.pyplot as plt  # 导入 matplotlib包

def dySIS(y, t, lamda, mu):  # SI/SIS 模型，导数函数
    dy_dt = lamda*y*(1-y) - mu*y  # di/dt = lamda*i*(1-i)-mu*i
    return dy_dt

def dySIR(y, t, lamda, mu):  # SIR 模型，导数函数
    s, i = y  # youcans
    ds_dt = -lamda*s*i  # ds/dt = -lamda*s*i
    di_dt = lamda*s*i - mu*i  # di/dt = lamda*s*i-mu*i
    return np.array([ds_dt,di_dt])

def dySEIR(y, t, lamda, delta, mu):  # SEIR 模型，导数函数
    s, e, i = y  # youcans
    ds_dt = -lamda*s*i  # ds/dt = -lamda*s*i
    de_dt = lamda*s*i - delta*e  # de/dt = lamda*s*i - delta*e
    di_dt = delta*e - mu*i  # di/dt = delta*e - mu*i
    return np.array([ds_dt,de_dt,di_dt])

# 设置模型参数
number = 1e5  # 总人数
lamda = 0.3  # 日接触率, 患病者每天有效接触的易感者的平均人数
delta = 0.03  # 日发病率，每天发病成为患病者的潜伏者占潜伏者总数的比例
mu = 0.06  # 日治愈率, 每天治愈的患病者人数占患病者总数的比例
sigma = lamda / mu  # 传染期接触数
fsig = 1-1/sigma
tEnd = 300  # 预测日期长度
t = np.arange(0.0,tEnd,1)  # (start,stop,step)
i0 = 1e-3  # 患病者比例的初值
e0 = 1e-3  # 潜伏者比例的初值
s0 = 1-i0  # 易感者比例的初值
Y0 = (s0, e0, i0)  # 微分方程组的初值

# odeint 数值解，求解微分方程初值问题
ySI = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,0))  # SI 模型
ySIS = odeint(dySIS, i0, t, args=(lamda,mu))  # SIS 模型
ySIR = odeint(dySIR, (s0,i0), t, args=(lamda,mu))  # SIR 模型
ySEIR = odeint(dySEIR, Y0, t, args=(lamda,delta,mu))  # SEIR 模型

# 输出绘图
print("lamda={}\tmu={}\tsigma={}\t(1-1/sig)={}".format(lamda,mu,sigma,fsig))
plt.title("Comparison among SI, SIS, SIR and SEIR models")
plt.xlabel('t-youcans')
plt.axis([0, tEnd, -0.1, 1.1])
plt.plot(t, ySI, 'cadetblue', label='i(t)-SI')
plt.plot(t, ySIS, 'steelblue', label='i(t)-SIS')
plt.plot(t, ySIR[:,1], 'cornflowerblue', label='i(t)-SIR')
# plt.plot(t, 1-ySIR[:,0]-ySIR[:,1], 'cornflowerblue', label='r(t)-SIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,0], '--', color='darkviolet', label='s(t)-SIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,1], '-.', color='orchid', label='e(t)-SIR')
plt.plot(t, ySEIR[:,2], '-', color='m', label='i(t)-SIR')
plt.plot(t, 1-ySEIR[:,0]-ySEIR[:,1]-ySEIR[:,2], ':', color='palevioletred', label='r(t)-SIR')
plt.legend(loc='right') 
plt.show()

SEIR改进模型

可见 新冠疫情 SEIR 改进模型，在此不进行过多的详述。

2.4 差分方程（人口模型）

对连续系统进行离散化处理。

将人按年龄分为n组，每组该年人口总数为\(a_i\)，普遍存活率为\(C_i\),普遍生育率为\(b_i\)，下一年每组人口总数为\(a_i'\)，

\(\left\{\begin{array}{l}a_{i}^{\prime}=a_{i-1} c_{i-1}, i=2,3, \ldots, n \\ a_{1}^{\prime}=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}\end{array}\right.\)

\[\overrightarrow{a^{\prime}}=\left(\begin{array}{ccccc} b_{1} & b_{2} & \ldots & b_{n-1} & b_{n} \\ c_{1} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & c_{2} & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 0 & 0 & \ldots & c_{n-1} & 0 \end{array}\right)\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)^{T} \]

该式中左边的矩阵就旦Leslie矩阵.

2.5 数值方法

数值逼近方法

（1）梯度下降（寻找极值）

批量梯度下降法，随机梯度下降法，小批量梯度下降法

（2）牛顿法（寻找极值）

（3）欧拉法（定积分求解）

（4）龙格库塔法（定积分求解）

标签：lamda,plt,差分,mu,微分方程,dt,第二章,array,mathrm
From： https://www.cnblogs.com/tlott/p/16628092.html

相关文章

  • 区间问题----多次区间修改，少次单点询问的差分
    《定义》对于原数列：a1a2a3.....aiaj........an-1an这个数列的差分为ca[j]=aj-ai这个数列的前缀和为he[j]=aj+ai+..+a2+a1 我们可以惊奇的发现差分的前缀和==原......
  • 差分学习笔记
    文章引自洛谷博客。欢迎来到蒟蒻$\texttt{Orange}$的差分学习笔记！蒟蒻$\texttt{Orange}$的第一篇笔记！（雾）接下来是差分学习时刻！！注：Orange的$\LaTeX$很差，装饰的很......
  • 差分约束（模板）
    P5960【模板】差分约束算法-洛谷|计算机科学教育新生态(luogu.com.cn)转换为最短路问题i-j<=c转换为i<=j+c表示有一条从j连到i的权值为c的边，设置一个0号源点，与各......
  • 02第二章：Docker安装
    一、安装前提Docker安装前提条件目前，CentOS仅发行版本中的内核支持Docker。Docker运行在CentOS7(64-bit)上，要求系统为64位、Linux系统内核版本为3.8以上，......
  • 798 差分
    includeusingnamespacestd;constintN=2000;inta[N][N],b[N][N];intmain(){intn,m,q;cin>>n>>m>>q;for(inti=1;i<=n;i++){for(intj......
  • ac 797 差分
    //常规时间复杂度为n*m//#include<bits/stdc++.h>//usingnamespacestd;//intmain(){//intn,m;//cin>>n>>m;//vectornums;//for......
  • Shell 第二章《流控》
    前言无论什么编程语言都离不开条件判断（流控）。SHELL也不例外。例如，用户输入的密码不够长时提示用户，你太短了例如，用户输入了备份的目录，如果有目录继续备份，如果没有目录创建......
  • 1042 布局 Layout 最大值差分约束 判断负环
     链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/26077/1042来源：牛客网题目描述FJ有N头奶牛(2≤N≤1000)(2\leqN\leq1000)(2≤N≤1000)，编号为1…......
  • AcWing算法基础课---第一讲基础算法---03前缀和与差分
    前缀和思路：求l到r区间的和用前r个数减去前l-1个数.#include<iostream>usingnamespacestd;constintN=100010;inta[N],s[N];intmain(){intn,m;......
  • 线程池：第二章：线程池实际中使用哪一个
    JDK提供的线程池三种常见的创建方式：那么具体用哪一个呢？答案是一个都不用。为什么呢？因为阿里巴巴实践过，证明过，具体请看阿里巴巴java开发手册：底层的是Linked这个接近......

赞助商

阅读排行

网站主页关于我们联系我们网站地图

本网站内容转载自其他媒体，侵权联系[admin##ips99.com]。

Copyright © 2020-2023 IPS99 版权所有 IPS99