证明 \(1 \times 1\) 的正方形的面积为 \(1\)
做法 \(1\)（离谱程度一星）
设常函数 \(f(x) = 1\)。则 \(1 \times 1\) 的正方形的面积为 \(f\) 的图像、\(x = 0\)、\(x = 1\)、\(y = 0\) 围成的面积，用积分积一下：
\[\int_0^1 f(x) \mathbf dx = 1. \]做法 \(2\)（离谱程度二星）
设函数
\[f(x) = \sqrt[k]{1-x^k} \]，则在 \(k \to \infty\) 时与 \(x=0,x=1,y=0\) 围成 \(1 \times 1\) 正方形。积分积一下得到 \(1\)。
做法 \(3\)（离谱程度五星）
注意到函数
\[f(x) = \max\left(\frac{\max\left(x,0\right)}{x}(1-x^{k})^{\frac{1}{k}},0\right) \]在 \(k \to \infty\) 时趋近于
\[g(x) = \left\{\begin{matrix}1 & x \in [0, 1] \\ 0 & x \notin [0, 1]\end{matrix}\right. \]，发现
\[\int_{-\infty}^{+\infty} g(x){\bf d}x = 我们要求的面积 \]，故 我们用 \(\lim\limits_{k \to \infty} f_k(x)\) 逼近它，但我不会算这个反常积分，猜想它 \(=1\)，命名为 \(2^{20}\) 第一猜想，悬赏十亿美金 \(\pmod{10^6}\)。
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