G water testing题解

G water testing

题意：给你一个多边形（可能是凸多边形，也可能是凹多边形），问该多边形内有多少个整数点（不包含边界）。

思路：皮克定理 + 叉乘计算三角形面积：皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，该公式可以表示为S=a+b÷2－1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点数，S表示多边形的面积。
叉乘计算三角形时，如果是凹多边形，现别加绝对值号，最后一起算完之后再加绝对值号。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n, tot,st,en;
int s;
typedef pair<int,int> pii;
vector<pii> vet;

int getsum(int a, int b, int c){
    //因为可能是凹多边形，所以不能加绝对值号
    return ((vet[b].first - vet[a].first)*(vet[c].second - vet[a].second) - (vet[b].second - vet[a].second) *(vet[c].first - vet[a].first));
    
}

signed main(){
    cin >> n;
    vet.push_back({0,0});
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        if(i == 1) st = x, en = y;
        vet.push_back({x,y});
    }
    vet.push_back({st,en});
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        tot += __gcd(abs(vet[i].first - vet[i + 1].first), abs(vet[i].second - vet[i + 1].second));
    }
    for(int i = 2; i <= n - 1; i++){
        s += getsum(1,i,i+1);
    }
    //也可以如下计算三角形面积
    // for(int i = 1; i <= n; i ++){
    //     s += vet[i].first*vet[i + 1].second - vet[i].second * vet[i + 1].first;
    // }
    int ans = (abs(s) - tot  + 2) / 2;
    cout << ans;
    return 0;
}